大阪大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第2問

(1) $P$ が第1双曲線上にあるので$$s^2-t^2=a^2\mathrm{.}$$接線の傾きは $s\mathrm{/}t$ だから、法線は$$y=-{\displaystyle \frac{t}{s}}x+2t\mathrm{.}$$これを $y^2-x^2=b^2$ へ代入して得る $x$ の2次方程式が重解をもつ条件を計算すると$$4s^2{t}^2=a^2{b}^2\mathrm{.}$$$s,t>0$ より$$2st=ab\mathrm{.}$$$u=s^2,v=t^2$ とおけば $u-v=a^2,uv=a^2{b}^2\mathrm{/}4$ なので$$s^2={\displaystyle \frac{a}{2}}(a+\sqrt{a^2+b^2}),t^2={\displaystyle \frac{a}{2}}(\sqrt{a^2+b^2}-a)\mathrm{.}$$(2) 連立で生じる2次方程式の重解から$$Q=(-{\displaystyle \frac{2t^{2}s}{a^2}},{\displaystyle \frac{2t{s}^2}{a^2}})={\displaystyle \frac{b}{a}}(-t,s)$$である。したがって$$O{Q}^2={\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}(s^2+t^2),O{P}^2=s^2+t^2,$$より$${\displaystyle \frac{OQ}{OP}}={\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{.}$$また$$(s,t)\cdot {\displaystyle \frac{b}{a}}(-t,s)=0$$だから$$\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$二つの双曲線と共通方向

法線の方向ベクトルを $(-t,s)$ と見る。接点 $Q$ がその方向にあることを双曲線の接線条件から示せば，直角と長さの比が同時に得られる。

(1)
第1双曲線の接線方向は $(t,s)$ だから，法線方向は$$\mathit{n}=(-t,s)\mathrm{.}$$法線は $P=(s,t)$ を通る。第2双曲線上の点 $Q=(X,Y)$ における接線の法線方向は $(-X,Y)$ である。法線 $m$ がそこで接するため，その接線方向は $\mathit{n}$ と平行，すなわち$$(t,s)\parallel (-X,Y)\mathrm{.}$$よって $Q=\lambda (-t,s)$ と書ける。

$Q$ が第2双曲線上にあることから$${\lambda }^2(s^2-t^2)=b^2\mathrm{.}$$$s^2-t^2=a^2$ なので $\lambda =b\mathrm{/}a$。したがって$$Q={\displaystyle \frac{b}{a}}(-t,s)\mathrm{.}$$さらに $Q-P$ が法線方向 $(-t,s)$ と平行でなければならない。行列式を0とすると$$\det ({\displaystyle \frac{b}{a}}(-t,s)-(s,t),(-t,s))=0,$$すなわち$$2st=ab\mathrm{.}$$これと $s^2-t^2=a^2$ から$$s^2={\displaystyle \frac{a}{2}}(a+\sqrt{a^2+b^2}),t^2={\displaystyle \frac{a}{2}}(\sqrt{a^2+b^2}-a)\mathrm{.}$$(2)
また $Q$ は $(-t,s)$ 方向だから $OP\perp OQ$ であり，$${\displaystyle {\displaystyle \frac{OQ}{OP}}={\displaystyle \frac{b}{a}},\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\mathrm{.}$$