大阪大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 放物線上の2点 $(u,u^2),(v,v^2)$ を結ぶ直線の傾きは$${\displaystyle \frac{u^2-v^2}{u-v}}=u+v$$である。したがって三角形の3辺の傾きは$$p+q,q+r,r+p$$である。

正三角形の3辺の方向角を $\theta ,\theta +{60}^{\circ },\theta -{60}^{\circ }$ とできる。これらの正接を $m_1,m_2,m_3$ とすると、正接の加法定理から$$m_1{m}_2+m_2{m}_3+m_3{m}_1=-3.$$実際、$t=\tan \theta$ とおき、$$\tan (\theta \pm {60}^{\circ })=(t\pm \sqrt{3})\mathrm{/}(1\mp \sqrt{3}t)$$ を代入すれば直ちに確かめられる。よって$$(p+q)(q+r)+(q+r)(r+p)+(r+p)(p+q)=-3.$$左辺を展開して$$p^2+q^2+r^2+3(pq+qr+rp)=-3$$を得る。したがって$$p^2+q^2+r^2=-3(pq+qr+rp)-3.$$(2) 重心を $(X,Y)$ とし、$s=p+q+r,t=pq+qr+rp$ とおく。(1)の左辺を $A=p^2+q^2+r^2$ とすれば$$A=-3t-3,s^2=A+2t\mathrm{.}$$第1式から $t=-(A+3)\mathrm{/}3$ なので、第2式へ代入すると$$s^2=A-{\displaystyle \frac{2(A+3)}{3}}={\displaystyle \frac{A-6}{3}}\mathrm{.}$$よって $A=3s^2+6$ である。重心座標は $X=s\mathrm{/}3,Y=A\mathrm{/}3$ だから$$Y=s^2+2=9X^2+2.$$したがって重心は、一定の放物線$$Y=9X^2+2$$上にある。

傾きの扱いの確認

放物線 $y=x^2$ 上で異なる2点が同じ $x$ 座標をもつことはない。したがって三角形の各辺は垂直にならず，3本の傾きはすべて有限である。このため正接の加法定理を用いた上の議論に欠落する場合はない。結論は，正三角形がどの位置にあってもその重心が固定された放物線 $Y=9X^2+2$ 上にあることを表している。