大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第2問

$n=1$ のとき $$S(1)=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}},T(1)={\displaystyle \frac{1}{1+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって $S(1)=T(1)$ が成り立つ。

次に、ある正の整数 $n$ について $S(n)=T(n)$ が成り立つと仮定する。このとき $$S(n+1)=\sum _{p=1}^{2n+2}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{p-1}}{p}}$$ であり、$S(n)$ との差は最後に増えた2項だけなので $$S(n+1)-S(n)={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n+2}}$$ である。

一方、$$T(n)={\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}$$ であり、$$T(n+1)={\displaystyle \frac{1}{n+2}}+{\displaystyle \frac{1}{n+3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2n+2}}$$ である。共通する ${\displaystyle \frac{1}{n+2}}$ から ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$ までの項は差を取ると消えるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T(n+1)-T(n)}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2n+2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n+2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n+2}}}\end{array}$$となる。

したがって $S(n+1)-S(n)=T(n+1)-T(n)$ である。帰納法の仮定 $S(n)=T(n)$ を用いると、$$S(n+1)=S(n)+\{S(n+1)-S(n)\}=T(n)+\{T(n+1)-T(n)\}=T(n+1)$$ となる。

以上より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 $n$ について $S(n)=T(n)$ が成り立つ。

なお、確認として左辺を2項ずつまとめると$$S(n)=(1-{\displaystyle \frac{1}{2}})+({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})+\cdots +({\displaystyle \frac{1}{2n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n}})$$であり、これは調和数を用いれば $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}-2({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}})$、すなわち ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}$ と一致する。ただし設問は帰納法を指定しているので、答案の中心は上の帰納法に置く。

帰納段階で増減する項