Evolton
方針
(1) は底 が より大きいことを確認してから指数を比較する。
(2) はまず整数 の取り得る範囲を決める。 では が正で 未満になって整数が存在しないこと、 では下限 が上限 を超えることを使う。残る について、上限は と の小さい方であることを明示して個数を数える。
解答
(1)
底 は より大きいので、指数関数 は単調増加である。したがって は と同値である。よって である。
(2)
整数の組 を数える。条件 を同時に満たすには、特に でなければならない。
まず のときは となる。すると は を満たす整数でなければならず、そのような整数は存在しない。したがって である。
また、少なくとも下限が上限 を超えてはいけないので が必要である。(1) より である。よって調べるべき整数 は だけである。
各 について の範囲を数える。ここで では 、 では が上限になる。
したがって求める個数は である。
整数解を残す3つの場合
総評
指数不等式そのものは基本だが、(2) では整数条件の扱いで差が出る。目安時間は10分程度。 を単に「小さいから不可」とせず、 となって整数が存在しないと書くと減点されにくい。また と では有効な上限が変わるため、表にして端点を含めて数えるのが安全である。解法2として対数を取って の領域を見る方法もあるが、最終的な整数 の個数計算は同じ三つの の場合分けに戻るため、ここでは直接数える形にまとめた。