大阪大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

2曲線の交点を求める。指数関数 $2^X$ は単調増加なので，$2^{2x+2t}=2^{x+3t}$ は $2x+2t=x+3t$ と同値であり，$x=t$ である。領域は $y$ 軸，すなわち $x=0$ とこの交点の間にあるので，$t\leqq x\leqq 0$ を考えればよい。

この区間で $$(2x+2t)-(x+3t)=x-t\geqq 0$$ であるから，$2^{2x+2t}\geqq 2^{x+3t}$ である。したがって $x$ 軸のまわりに回転してできる体積は$$V(t)=\pi {\int }_t^0\{(2^{2x+2t}{)}^2-(2^{x+3t}{)}^2\}dx$$である。すなわち$$V(t)=\pi {\int }_t^0(2^{4x+4t}-2^{2x+6t})dx$$である。

積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(t)}& {\displaystyle =\pi {[{\displaystyle \frac{2^{4x+4t}}{4\log 2}}-{\displaystyle \frac{2^{2x+6t}}{2\log 2}}]}_{x=t}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4\log 2}}\{2^{4t}(1-2^{4t})-2\cdot 2^{6t}(1-2^{2t})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4\log 2}}\{2^{4t}-2\cdot 2^{6t}+2^{8t}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4\log 2}}{2}^{4t}(1-2^{2t}{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $u=2^{2t}$ とおく。$t<0$ なので $0<u<1$ である。また $2^{4t}=u^2$ だから$$V(t)={\displaystyle \frac{\pi }{4\log 2}}{u}^2(1-u{)}^2={\displaystyle \frac{\pi }{4\log 2}}\{u(1-u){\}}^2$$である。 $0<u<1$ で $$u(1-u)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり，等号は $u=1\mathrm{/}2$ のとき成り立つ。この値は $u=2^{2t}$ に対して $t=-1\mathrm{/}2$ で実現できる。

したがって $V(t)$ の最大値は $${\displaystyle \frac{\pi }{4\log 2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{\pi }{64\log 2}}$$ である。

図は $t<0$ の模式図。$t\leqq x\leqq 0$ で青の曲線が外半径になる。