大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

まず $x\geqq 1$ の場合を考える。$$u=\sqrt{x}$$ とおくと $u\geqq 1$ であり，$${\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x}}}-\log x=u-{\displaystyle \frac{1}{u}}-2\log u$$ である。そこで $F(u)=u-{\displaystyle \frac{1}{u}}-2\log u$ とおく。すると $$F^{\mathrm{\prime }}(u)=1+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}-{\displaystyle \frac{2}{u}}={\displaystyle \frac{(u-1{)}^2}{u^2}}\geqq 0$$ である。また $F(1)=0$ なので，$u\geqq 1$ では $F(u)\geqq 0$ である。したがって $$\log x\leqq {\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x}}}$$ が成り立つ。

次に $0<x<1$ の場合を考える。このとき $1\mathrm{/}x>1$ であるから，上で示した不等式を $1\mathrm{/}x$ に適用すると $$\log {\displaystyle \frac{1}{x}}\leqq {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-1}{\sqrt{1\mathrm{/}x}}}={\displaystyle \frac{1-x}{\sqrt{x}}}$$ である。$0<x<1$ では $\mathrm{\mid }\log x\mathrm{\mid }=\log {\displaystyle \frac{1}{x}}$，$\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=1-x$ だから $$\mathrm{\mid }\log x\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{x}}}$$ である。$x\geqq 1$ の場合と合わせて，すべての正の $x$ で示された。

(2) $p+q+r=1$ より $(p+q+r{)}^2=1$ である。また $(p-q{)}^2+(q-r{)}^2+(r-p{)}^2\geqq 0$ を展開すると $2(p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp)\geqq 0$ であるから $$p^2+q^2+r^2\geqq pq+qr+rp$$ である。さらに $$1=(p+q+r{)}^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+rp)$$ なので $1\leqq 3(p^2+q^2+r^2)$ となる。よって $$p^2+q^2+r^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

(3)

正の数 $a,b$ について，$\log {\displaystyle \frac{b}{a}}$ と $b-a$ は同じ符号をもつ。したがって $a\mathrm{\ne }b$ のとき$${\displaystyle \frac{ab}{b-a}}\log {\displaystyle \frac{b}{a}}=ab\cdot {\displaystyle \frac{\mid \log {\displaystyle \frac{b}{a}}\mid }{\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }}}$$である。(1)を $$x={\displaystyle \frac{b}{a}}$$ に適用すると$$\mid \log {\displaystyle \frac{b}{a}}\mid \leqq {\displaystyle \frac{\mid {\displaystyle \frac{b}{a}}-1\mid }{\sqrt{b\mathrm{/}a}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }}{\sqrt{ab}}}$$である。よって $${\displaystyle \frac{ab}{b-a}}\log {\displaystyle \frac{b}{a}}\leqq \sqrt{ab}$$ となる。

同様に$${\displaystyle \frac{bc}{c-b}}\log {\displaystyle \frac{c}{b}}\leqq \sqrt{bc},{\displaystyle \frac{ca}{a-c}}\log {\displaystyle \frac{a}{c}}\leqq \sqrt{ca}$$である。したがって示すべき左辺を $L$ とすると $$L\leqq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$ である。

ここで $$p=\sqrt{a},q=\sqrt{b},r=\sqrt{c}$$ とおくと，条件より $p+q+r=1$ である。また $$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=pq+qr+rp$$ である。さらに $$1=(p+q+r{)}^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+rp)$$ であり，(2)から $$p^2+q^2+r^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ なので $$pq+qr+rp={\displaystyle \frac{1-(p^2+q^2+r^2)}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。以上より $L\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$ となり，求める不等式が示された。

(1) の対数評価を各2項へ適用し，(2)の平方和評価で閉じる。