大阪大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

一直線に並ぶ時刻を $\theta =0$ とし、$O=(0,0),A=(2,0)$ とおく。$P_2$ の回転角を $\theta$ とすれば、角速度の条件から$$P_1=(5\cos 2\theta ,5\sin 2\theta ),P_2=(10\cos \theta ,10\sin \theta )$$である。$\mathrm{△}A{P}_1{P}_2$ の面積を $T$ とすると、行列式により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2T}& {\displaystyle =\mid (5\cos 2\theta -2)10\sin \theta -5\sin 2\theta (10\cos \theta -2)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid -50\sin \theta -20\sin \theta +10\sin 2\theta \mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =10\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }(7-2\cos \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$T=5\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }(7-2\cos \theta )\mathrm{.}$$$c=\cos \theta$ とおく。$7-2c>0$ なので、$T$ を最大にすることは$$F(c)=(1-c^2)(7-2c{)}^2(-1\leqq c\leqq 1)$$を最大にすることと同値である。微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(c)=-2(7-2c)(7c+2-4c^2)\mathrm{.}$$区間内の停留点は $4c^2-7c-2=0$ の解 $$c=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ だけである。両端では $F=0$ だから、この点で最大となる。よって$$\max T=5\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{16}}}(7+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{75\sqrt{15}}{8}}\mathrm{.}$$最大値の確認

$c=\cos \theta$ による区間は $[-1,1]$ である。停留点を与える方程式のもう一つの解は $c=2$ で区間外にあり，区間内には $c=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ しかない。両端では三角形が一直線上に退化して面積は0であるから，この内点で得た値が大域的最大値である。また $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ を満たす時刻は実際に存在するので，最大値は上限にとどまらず達成される。