大阪大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $x=\cos t$ だから$$f_1(x)=x\mathrm{.}$$また2倍角，3倍角の公式より$$\cos 2t=2{\cos }^{2}t-1,\cos 3t=4{\cos }^{3}t-3\cos t$$なので$$f_2(x)=2x^2-1,f_3(x)=4x^3-3x$$である。

(2) 余弦の加法定理から$$\cos ((n+1)t)+\cos ((n-1)t)=2\cos t\cos nt$$が成り立つ。$x=\cos t$ および $f_j(x)=\cos jt$ を用いると$$f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x)=2x{f}_n(x)$$となる。よって$$f_{n+1}(x)=2x{f}_n(x)-f_{n-1}(x)$$である。

(3) (1)の $$f_1(x)=x,f_2(x)=2x^2-1$$ は整数係数多項式である。(2)の漸化式から，$f_{j-1},f_j$ が整数係数多項式なら $f_{j+1}=2x{f}_j-f_{j-1}$ も整数係数多項式である。したがって全ての自然数 $n$ について $f_n(x)$ は整数係数多項式である。

ここで$$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}$$が有理数であると仮定する。整数係数多項式に有理数を代入した値は有理数だから，$f_n(\alpha )$ は有理数となる。一方，定義より$$f_n(\alpha )=\cos (n\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4n}})=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$である。これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに反する。よって$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}$$は無理数である。

$x=\cos t$ とすると $f_n(x)=\cos nt$。
漸化式により各 $f_n$ は整数係数多項式になる。