大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

定義より $$g_n(k)-g_n(k-1)=f\left({\displaystyle \frac{k\pi }{3n}}\right)$$ である。したがって $g_n(k-1)\geqq g_n(k)$ は $f\left({\displaystyle \frac{k\pi }{3n}}\right)\leqq 0$ と同値である。

ここで $f(x)=4{\cos }^{2}x-8\cos x+3$ であり、$X=\cos x$ とおくと $4X^2-8X+3\leqq 0$ である。この2次不等式の解は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq X\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。$-1\leqq \cos x\leqq 1$ だから、結局 $f(x)\leqq 0$ は $\cos x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ と同値である。

いま $2\leqq k\leqq 3n$ では $$0<{\displaystyle \frac{k\pi }{3n}}\leqq \pi$$ である。この範囲で $\cos x\geqq 1\mathrm{/}2$ となるのは $x\leqq \pi \mathrm{/}3$ のときであるから $${\displaystyle \frac{k\pi }{3n}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ すなわち $k\leqq n$ である。よって $g_n(k-1)\geqq g_n(k)$ となる $k$ は $2\leqq k\leqq n$ である。

次に $1\leqq k\leqq 3n$ における最小を調べる。上の結果より、$k=2,3,\dots ,n-1$ では $g_n(k)<g_n(k-1)$ であり、$k=n$ では $$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=0$$ なので $g_n(n)=g_n(n-1)$ である。$k>n$ では $f(k\pi \mathrm{/}(3n))>0$ となるため、以後は増加する。したがって $g_n(k)$ を最小にする $k$ は $k=n-1,n$ である。

(2)

最小値は $g_n(n-1)=g_n(n)$ であるから、計算しやすいように $G_n=g_n(n)$ としてよい。すると $${\displaystyle \frac{G_n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f\left({\displaystyle \frac{j\pi }{3n}}\right)$$ である。これは関数 $f(\pi x\mathrm{/}3)$ の $0\leqq x\leqq 1$ におけるリーマン和であるから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{G_n}{n}}={\int }_0^{1}f\left({\displaystyle \frac{\pi x}{3}}\right)dx$$である。 $u=\pi x\mathrm{/}3$ とおくと $dx=3du\mathrm{/}\pi$ であり、$${\int }_0^{1}f\left({\displaystyle \frac{\pi x}{3}}\right)dx={\displaystyle \frac{3}{\pi }}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}(4{\cos }^{2}u-8\cos u+3)du$$となる。ここで $$\int (4{\cos }^{2}u-8\cos u+3)du=5u+\sin 2u-8\sin u$$ である。したがって$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}(4{\cos }^{2}u-8\cos u+3)du={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-4\sqrt{3}$$ $$={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{2}}$$ である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{G_n}{n}}={\displaystyle \frac{3}{\pi }}({\displaystyle \frac{5\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{2}})=5-{\displaystyle \frac{21\sqrt{3}}{2\pi }}$$である。

(1) は部分和の差の符号を調べる。(2)では $4{\cos }^{2}x=2+2\cos 2x$ と余弦和の公式を用いて $G_n\mathrm{/}n$ を有限和のまま表し、分母の小角近似から極限を求める。

(1) $$g_n(k)-g_n(k-1)=f\left({\displaystyle \frac{k\pi }{3n}}\right)\mathrm{.}$$$0<x\leqq \pi$ では$$f(x)\leqq 0⟺4{\cos }^{2}x-8\cos x+3\leqq 0⟺\cos x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}⟺x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$従って $g_n(k-1)\geqq g_n(k)$ となるのは$$2\leqq k\leqq n\mathrm{.}$$$k=n$ では加える項が0で、その前までは減少し、その後は増加する。よって最小値を与える $k$ は$$k=n-1,n\mathrm{.}$$(2)

$\alpha =\pi \mathrm{/}(3n)$ とおき、$G_n=g_n(n)$ を使う。$$4{\cos }^{2}x=2+2\cos 2x$$より$${\displaystyle \frac{G_n}{n}}=5+{\displaystyle \frac{2}{n}}\sum _{j=1}^n\cos (2j\alpha )-{\displaystyle \frac{8}{n}}\sum _{j=1}^n\cos (j\alpha )\mathrm{.}$$余弦和の公式$$\sum _{j=1}^n\cos (j\beta )={\displaystyle \frac{\sin (n\beta \mathrm{/}2)\cos ((n+1)\beta \mathrm{/}2)}{\sin (\beta \mathrm{/}2)}}$$を用いる。

$\alpha =\pi \mathrm{/}(3n)$ と $n\sin (c\mathrm{/}n)\to c$ から$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=1}^n\cos (j\alpha )⟶{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\pi }},$$$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=1}^n\cos (2j\alpha )⟶{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4\pi }}\mathrm{.}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{G_n}{n}}}& {\displaystyle =5+2\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4\pi }}-8\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\pi }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5-{\displaystyle \frac{21\sqrt{3}}{2\pi }}\mathrm{.}}\end{array}$$