大阪大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 点 $A$ から $O$ への向きは偏角 $\pi$ だから$$P=(t^2-\sqrt{a}\cos at,\sqrt{a}\sin at)\mathrm{.}$$(2) $$x=t^2-\sqrt{a}\cos at$$, $$y=\sqrt{a}\sin at$$ とおくと$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=2t+a\sqrt{a}\sin at\geqq 0$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(a)}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}a}{y}^2{\displaystyle \frac{dx}{dt}}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}a}a{\sin }^2(at)\{2t+a\sqrt{a}\sin (at)\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2a}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^{3\mathrm{/}2})\mathrm{.}}\end{array}$$ここでは $u=at$ と置き、$${\int }_0^{\pi }u{\sin }^{2}udu={\pi }^2\mathrm{/}4$$,$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}udu=4\mathrm{/}3$$を用いた。

(3) 括弧内を微分すると$$-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2a^2}}+2\sqrt{a}\mathrm{.}$$これが0となる条件は $a^{5\mathrm{/}2}={\pi }^2\mathrm{/}4$ である。導関数はこの点の前で負、後で正だから$$a={\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^{4\mathrm{/}5}$$のとき最小となる。

(1) (2) は媒介変数表示と円板法で計算する。(3) では
$u=\sqrt{a}$ と置き、${\pi }^2\mathrm{/}(2u^2)+4u^3\mathrm{/}3$ に
重み付き相加相乗平均を適用する。微分せずに最小条件
$u^5={\pi }^2\mathrm{/}4$ を得る。

(1)
$A$ から $O$ への向きは負の $x$ 軸方向なので$$P=(t^2-\sqrt{a}\cos at,\sqrt{a}\sin at)\mathrm{.}$$(2)$$x=t^2-\sqrt{a}\cos at,y=\sqrt{a}\sin at$$ とおくと$$dx\mathrm{/}dt=2t+a\sqrt{a}\sin at\geqq 0$$。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(a)}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}a}{y}^2{\displaystyle \frac{dx}{dt}}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2a}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^{3\mathrm{/}2})\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$u=\sqrt{a}>0$$ とし$$X={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2u^2}},Y={\displaystyle \frac{4}{3}}{u}^3$$とおく。重み付き相加相乗平均より$$X+Y={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{5X}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{5Y}{2}}\geqq {\left({\displaystyle \frac{5X}{3}}\right)}^{3\mathrm{/}5}{\left({\displaystyle \frac{5Y}{2}}\right)}^{2\mathrm{/}5}\mathrm{.}$$右辺は $u$ によらない。等号条件は
$5X\mathrm{/}3=5Y\mathrm{/}2$、すなわち $2X=3Y$ である。これより$$u^5={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}},a=u^2={\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^{4\mathrm{/}5}\mathrm{.}$$