大阪大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 時計回りの運動より$$P=(-\cos t,\sin t)\mathrm{.}$$$PH$ は鉛直下向きであり、これを反時計回りに角 $t$ 回した単位ベクトルは $(\sin t,-\cos t)$ である。$PQ=t$ だから$$Q=P+t(\sin t,-\cos t)\mathrm{.}$$従って$$x=-\cos t+t\sin t,y=\sin t-t\cos t\mathrm{.}$$微分すると$$y^{\mathrm{\prime }}=t\sin t\geqq 0(0\leqq t\leqq \pi ),$$しかも $0<t<\pi$ では正だから、$y$ は単調に増加する。

(2) $$x^{\mathrm{\prime }}=2\sin t+t\cos t\mathrm{.}$$$0<t\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $x^{\mathrm{\prime }}>0$ である。$\pi \mathrm{/}2<t<\pi$ では$$x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=3\cos t-t\sin t<0$$なので $x^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調減少する。また$$x^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}>0,$$$$x^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)=1-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}\pi }{12}}<0.$$従って $x^{\mathrm{\prime }}=0$ となる点はただ1つで$${\displaystyle \frac{4\pi }{6}}<t<{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$にある。この点で $x$ は最大となるから$$j=4.$$(3) 時刻 $\pi$ では $B=(1,\pi )$ である。(1)より $y$ は0から $\pi$ まで単調に増え、軌跡は鉛直線 $x=-1$ の右側にある。従って$$S={\int }_0^{\pi }(x+1)dy={\int }_0^{\pi }\{-\cos t+t\sin t+1\}t\sin tdt\mathrm{.}$$これを$${\int }_0^{\pi }t\sin tdt-{\int }_0^{\pi }t\sin t\cos tdt+{\int }_0^{\pi }{t}^2{\sin }^{2}tdt$$に分ける。部分積分と ${\sin }^{2}t=(1-\cos 2t)\mathrm{/}2$ より、それぞれ$$\pi ,-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$である。従って$$S=\pi -(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\pi +{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}\mathrm{.}$$

座標と最大時刻の判定は速度ベクトルから行う。(3)では軌跡を $A$ から $B$ へたどり、上側の水平線と左側の鉛直線で閉じる。面積を $-\oint ydx$ として計算すれば、主解法の $$\int (x+1)dy$$ とは別の積分になる。

(1)

単位円上を左端から時計回りに進むので$$P=(-\cos t,\sin t)\mathrm{.}$$下向きの単位ベクトルを反時計回りに $t$ だけ回すと $(\sin t,-\cos t)$ になる。従って$$Q=P+t(\sin t,-\cos t),$$すなわち$$x=-\cos t+t\sin t,y=\sin t-t\cos t\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=t\sin t\geqq 0,$$しかも $0<t<\pi$ では正だから、$y$ は単調に増加する。

(2) $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=2\sin t+t\cos t\mathrm{.}$$$0<t\leqq \pi \mathrm{/}2$ ではこれは正である。また $\pi \mathrm{/}2<t<\pi$ では$${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}=3\cos t-t\sin t<0$$だから、$dx\mathrm{/}dt$ は狭義単調減少する。さらに$${{\displaystyle \frac{dx}{dt}}\mid }_{t=2\pi \mathrm{/}3}=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}>0,$$$${{\displaystyle \frac{dx}{dt}}\mid }_{t=5\pi \mathrm{/}6}=1-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}\pi }{12}}<0.$$よって最大時刻は$${\displaystyle \frac{4\pi }{6}}<t<{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$にあり、$$j=4.$$(3)

$B=(1,\pi )$ である。軌跡を $A$ から $B$ へたどり、$B$ から $(-1,\pi )$ へ水平に戻り、最後に $A$ へ下る向きは正の向きである。従って$$S=-\oint ydx=2\pi -{\int }_0^{\pi }y(t)x^{\mathrm{\prime }}(t)dt\mathrm{.}$$ここで$$y{x}^{\mathrm{\prime }}=(\sin t-t\cos t)(2\sin t+t\cos t)=2{\sin }^{2}t-t\sin t\cos t-t^2{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$部分積分と半角公式により$${\int }_0^{\pi }2{\sin }^{2}tdt=\pi ,$$$${\int }_0^{\pi }t\sin t\cos tdt=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},$$$${\int }_0^{\pi }{t}^2{\cos }^{2}tdt={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$よって$${\int }_0^{\pi }y(t)x^{\mathrm{\prime }}(t)dt=\pi -{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}\mathrm{.}$$以上から$$S=2\pi -(\pi -{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}})=\pi +{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}\mathrm{.}$$