大阪大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$f(x)=\tan x\mathrm{/}x$ とおく。微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x{\sec }^{2}x-\tan x}{x^2}}$$である。分子を $N(x)=x{\sec }^{2}x-\tan x$ とおけば$$N^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{\sec }^{2}x\tan x>0(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$であり，$$\underset{x\to +0}{\lim }N(x)=0$$ だから $N(x)>0$ である。よって $f$ はこの区間で単調増加する。また$x\to +0$ で1、$x\to \pi \mathrm{/}2-0$ で無限大となる。したがって $a>1$ に対し$$\tan \alpha =a\alpha$$を満たす $\alpha \in (0,\pi \mathrm{/}2)$ がただ1つ存在する。また $a\to \mathrm{\infty }$ のとき $\alpha \to \pi \mathrm{/}2$ である。実際，任意の固定した $b<\pi \mathrm{/}2$ に対して $\tan b\mathrm{/}b$ は有限であるから，十分大きい $a$ では単調性より $b<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ となる。$b$ を $\pi \mathrm{/}2$ へ近づければ主張を得る。

区間 $0<x<\alpha$ では $ax>\tan x$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\alpha }(ax-\tan x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a{\alpha }^2}{2}}+\log (\cos \alpha )\mathrm{.}}\end{array}$$よって$${\displaystyle \frac{S}{a}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}+{\displaystyle \frac{\log (\cos \alpha )}{a}}\mathrm{.}$$ここで $\delta =\pi \mathrm{/}2-\alpha$ とおくと $\delta \to +0$ であり、交点条件から$${\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{\alpha }{\tan \alpha }}=\alpha \tan \delta \mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{\log (\cos \alpha )}{a}}=\alpha \tan \delta \log (\sin \delta )={\displaystyle \frac{\alpha }{\cos \delta }}\{\sin \delta \log (\sin \delta )\}⟶0.$$以上より$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}\mathrm{.}$$

$a\to \mathrm{\infty }$ では交点 $$\alpha \to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$．