大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

行列のサイズだけを見る。各行列は $A:2\to 2,B:2\to 3,C:3\to 2,D:3\to 3$ という遷移を表している。積 $M_1{M}_2\cdots M_n$ が定義できるとは，隣り合う行列のサイズがつながるということである。

したがって，最初の行数を2または3から選び，その後の列数を各段階で2または3から選べば，次元列 $$d_0,d_1,\dots ,d_n(d_i=2\text{ または }3)$$ が決まる。各遷移 $d_{i-1}\to d_i$ に対応する行列は一意に決まる。よって積が定義できる並べ方は $2^{n+1}$ 通りである。

(2)

まず零行列になる原因を確認する。$A$ と $D$ はそれぞれのサイズの単位行列であり，$$BC=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$である。一方$$CB=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 0& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$$であり，これは零行列ではない。

積が $2\times 3$ 行列になるには，次元列が2から始まり3で終わる必要がある。非零であるためには，途中で $B$ の後に $C$ が現れてはならない。なぜなら，その間に現れるのはサイズ3の単位行列 $D$ だけなので，部分積に $BDC,BDDC,\dots$ が現れ，いずれも $BC=O$ により零になるからである。

2から始まり3で終わり，かつ $B$ の後に $C$ が現れないためには，ある位置で1回だけ $B$ が現れ，その前はすべて $A$，その後はすべて $D$ でなければならない。すなわち $A,\dots ,A,B,D,\dots ,D$ の形である。$B$ の位置は $1$ 番目から $n$ 番目までの $n$ 通りなので，求める数は $n$ である。

(3)

零行列とならない場合を，最初のサイズと最後のサイズで分けて数える。 $2\to 2$ の場合は，途中で $B$ が現れると，最後に2へ戻るためにその後 $C$ が必要となり，$BC=O$ により零になる。したがってすべて $A$ の1通りだけである。 $2\to 3$ の場合は(2)で数えた通り，1回だけ $B$ が現れる形で $n$ 通りである。 $3\to 2$ の場合は，1回だけ $C$ が現れ，その前はすべて $D$，その後はすべて $A$ である。$C$ の位置は $n$ 通りなので $n$ 通りである。 $3\to 3$ の場合は，まずすべて $D$ の1通りがある。ほかにサイズが変わる場合は，先に $C$ で $3\to 2$ へ移り，その後に $B$ で $2\to 3$ へ戻る形だけが非零である。$C$ の位置を $i$，$B$ の位置を $j$ とすると $1\leqq i<j\leqq n$ であり，その選び方は $${}_n{\mathrm{C}}_2={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ 通りである。この場合の積には $CB$ が現れるが，これは上で確認した通り零行列ではない。

以上を合計すると，零行列とならない場合の数は $$1+n+n+1+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}={\displaystyle \frac{n^2+3n+4}{2}}$$ である。よって ${\displaystyle \frac{n^2+3n+4}{2}}$ である。

行列の大きさを状態とみなすと，積が定義できる列と非零列を分類できる。