大阪大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 左辺を計算すると$$JP(\theta )=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$一方、$$\cos (-\theta )=\cos \theta$$、$$\sin (-\theta )=-\sin \theta$$ より$$P(-\theta )J=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって $JP(\theta )=P(-\theta )J$ である。特に $JQ=Q^{-1}J$ であり、また $Q^3=E$、$J^2=E$ である。

(2) 2個の $J$ の前、間、後にある $Q$ の個数をそれぞれ $a,b,c$ とする。このとき $a,b,c$ は非負整数で $a+b+c=200$ であり、積は$$Q^{a}J{Q}^{b}J{Q}^c=Q^{a-b+c}=Q^{200-2b}$$となる。これが $E$ となるための条件は $200-2b$ が3の倍数、すなわち $b\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。よって $b=1,4,\dots ,199$ であり、67通りある。

固定した $b$ に対して $a+c=200-b$ の非負整数解は $201-b$ 個だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N(200,2)}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{66}\{201-(1+3j)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =67\cdot 200-3\cdot \frac{66\cdot 67}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6767.}\end{array}$$(3) 4個の $J$ で区切られる5区画に入る $Q$ の個数を順に $x_0,x_1,x_2,x_3,x_4$ とする。これらは非負整数で、和は10である。(1)の関係を繰り返し用いると積は$$Q^{x_0-x_1+x_2-x_3+x_4}=Q^{10-2(x_1+x_3)}$$となる。$s=x_1+x_3$ とおけば、積が $E$ となる条件は $10-2s$ が3の倍数である。$0\leqq s\leqq 10$ より $s=2,5,8$ である。

固定した $s$ に対し、$x_1+x_3=s$ の解は $s+1$ 個、$x_0+x_2+x_4=10-s$ の解は ${}_{12-s}{\mathrm{C}}_2$ 個である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N(10,4)}& {\displaystyle =3\cdot {}_{10}{\mathrm{C}}_2+6\cdot {}_7{\mathrm{C}}_2+9\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\cdot 45+6\cdot 21+9\cdot 6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =315.}\end{array}$$