大阪大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

与えられた行列は$$A=\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ 1& a\end{array}\right)$$である。一方、問題の形では$$A=\left(\begin{array}{cc}r\cos \theta & -r\sin \theta \\ r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$$であるから、成分を比較して $$r\cos \theta =a,r\sin \theta =1$$ である。したがって $$r^2=(r\cos \theta {)}^2+(r\sin \theta {)}^2=a^2+1$$ であり、$r>0$ より $$r=\sqrt{a^2+1}$$ である。よって$$\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+1}},\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$である。

(2)

行列 $A$ の表す変換は、原点を中心として角 $\theta$ だけ回転し、長さを $r$ 倍する変換である。$Q_1=Q=(1,0)$ なので $O{Q}_1=1$ であり、$Q_n$ は $Q$ を $n-1$ 回移した点である。したがって $$O{Q}_n=r^{n-1},O{Q}_{n+1}=r^n$$ である。また $Q_n$ から $Q_{n+1}$ へは角 $\theta$ だけ回転するので、$$\mathrm{\angle }{Q}_{n}O{Q}_{n+1}=\theta$$ である。

回転角は $\theta$、2辺の長さは連続して $r$ 倍になる。

よって三角形の面積は$$S(n)=\frac{1}{2}O{Q}_n\cdot O{Q}_{n+1}\sin \theta =\frac{1}{2}{r}^{n-1}{r}^n\sin \theta$$である。(1)より $r\sin \theta =1$ だから $$S(n)=\frac{1}{2}{r}^{2n-2}=\frac{1}{2}(a^2+1{)}^{n-1}$$ である。したがって $$S(n)=\frac{1}{2}(a^2+1{)}^{n-1}$$ である。

(3) $f$ によって点 $(2,7)$ に移されるもとの点を $P=(X,Y)$ とする。このとき$$\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right)$$である。すなわち$$\{\begin{array}{l}aX-Y=2,\\ X+aY=7\end{array}$$である。第1式から $Y=aX-2$ として第2式に代入すると $X+a(aX-2)=7$ だから $(a^2+1)X=2a+7$ である。したがって $$X=\frac{2a+7}{a^2+1}$$ である。

この $X$ の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が2であるための条件は $\frac{3}{2}\leqq X<\frac{5}{2}$ である。つまり $$\frac{3}{2}\leqq \frac{2a+7}{a^2+1}<\frac{5}{2}$$ である。

自然数 $a$ について調べる。$a=1$ では $$X=\frac{9}{2}$$ であり不適。$a=2$ では $$X=\frac{11}{5}=2.2$$ であり適する。$a\geqq 3$ のときは $$\frac{2a+7}{a^2+1}<\frac{3}{2}$$ を確認すればよい。これは $2(2a+7)<3(a^2+1)$ すなわち $3a^2-4a-11>0$ であり、$a\geqq 3$ で成り立つ。したがって $a=2$ である。

このとき $$S(n)=\frac{1}{2}(2^2+1{)}^{n-1}=\frac{1}{2}\cdot 5^{n-1}$$ である。求める条件は $$\frac{1}{2}\cdot 5^{n-1}>{10}^{10}$$ すなわち $5^{n-1}>2\cdot {10}^{10}$ である。

実際に $$5^{14}=6103515625<2\cdot {10}^{10}$$ であり、$$5^{15}=30517578125>2\cdot {10}^{10}$$ である。したがって最小の指数は $n-1=15$ であり、求める最小の $n$ は $16$ である。