大阪大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

漸化式 $A_n=B+A_{n-1}C$ を順に展開する。$A_0=O$ であるから，$A_1=B,$ $A_2=B+BC,$ $A_3=B+BC+B{C}^2$ となる。同様にして $$A_n=B+BC+B{C}^2+\cdots +B{C}^{n-1}$$ である。したがって右から $E-C$ を掛けると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_n(E-C)}& {\displaystyle =B(E+C+C^2+\cdots +C^{n-1})(E-C)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =B(E-C^n)}\end{array}$$である。

(2)

与えられた$$C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 1\end{array}\right)$$について計算すると，$$C^2=\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ -2& -2\end{array}\right)$$であり，さらに$$C^3=C^{2}C=\left(\begin{array}{cc}-8& 0\\ 0& -8\end{array}\right)=-8E$$である。したがって $C^{3n}=(-8{)}^{n}E$ である。

(1) で $n$ を $3n$ に替えると $$A_{3n}(E-C)=B(E-C^{3n})=\{1-(-8{)}^n\}B$$ である。ここで$$E-C=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$$であり，$$(E-C{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\end{array}\right)$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_{3n}}& {\displaystyle =\{1-(-8{)}^n\}B(E-C{)}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{1-(-8{)}^n\}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{1-(-8{)}^n\}\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$

$C^3=-8E$ を利用し，等比和を3項ずつのブロックに分ける。各ブロックの先頭には $(C^3{)}^j=(-8{)}^{j}E$ が現れるので，行列の和が通常のスカラー等比数列へ帰着する。逆行列を計算せずに済む点が利点である。

(1) 漸化式を繰り返し用いると$$A_n=B+BC+\cdots +B{C}^{n-1}$$である。右から $E-C$ を掛ければ中間項が相殺されるので$$A_n(E-C)=B(E-C^n)$$を得る。

(2) 3個ずつまとめてもよい。 $$A_{3n}=B(E+C+C^2)+B(E+C+C^2)C^3+\cdots +B(E+C+C^2)(C^3{)}^{n-1}$$ である。上で求めた $C^2$ から$$E+C+C^2=\left(\begin{array}{cc}0& 9\\ -3& 0\end{array}\right)$$であり，$$B(E+C+C^2)=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$$である。さらに $C^3=-8E$ なので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_{3n}}& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& 9\end{array}\right)\{1+(-8)+\cdots +(-8{)}^{n-1}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& 9\end{array}\right){\displaystyle \frac{1-(-8{)}^n}{9}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{1-(-8{)}^n\}\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$