大阪大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 直線 $l$ の方向ベクトルは $(1,a)$ である。したがって $P_1=(p,q)$ の $l$ への正射影は$$Q={\displaystyle \frac{p+aq}{1+a^2}}(1,a)$$である。同様に，直線 $m$ の方向ベクトルは $(1,b)$ だから$$R={\displaystyle \frac{p+bq}{1+b^2}}(1,b)$$である。よって$$Q({\displaystyle \frac{p+aq}{1+a^2}},{\displaystyle \frac{a(p+aq)}{1+a^2}}),R({\displaystyle \frac{p+bq}{1+b^2}},{\displaystyle \frac{b(p+bq)}{1+b^2}})$$となる。

(2) 四角形 $P_{1}Q{P}_{2}R$ がこの順に平行四辺形なので，位置ベクトルについて$$P_2=Q+R-P_1$$が成り立つ。(1)の式を代入して $p,q$ の係数をまとめると$$\left(\begin{array}{c}{p}_2\\ q_2\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$$ただし$$M={\displaystyle \frac{1}{(1+a^2)(1+b^2)}}\left(\begin{array}{cc}1-a^2{b}^2& (a+b)(1+ab)\\ (a+b)(1+ab)& a^2{b}^2-1\end{array}\right)$$である。

(3) $$D=(1+a^2)(1+b^2),c={\displaystyle \frac{1-a^2{b}^2}{D}},e={\displaystyle \frac{(a+b)(1+ab)}{D}}$$とおくと$$M=\left(\begin{array}{cc}c& e\\ e& -c\end{array}\right)$$である。直接計算すると$$M^2=(c^2+e^2)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$であり，さらに整理して$$c^2+e^2={\displaystyle \frac{(1+ab{)}^2}{(1+a^2)(1+b^2)}}$$を得る。そこで$$\rho ={\displaystyle \frac{1+ab}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}}$$とおけば $M^2={\rho }^{2}E$ である。なお$$(1+a^2)(1+b^2)-(1+ab{)}^2=(a-b{)}^2>0$$より $0<\rho <1$ である。

初期点を列ベクトルで $P_1=(p,q{)}^T$ と書けば $P_n=M^{n-1}{P}_1$ である。したがって，$n=2k+1$ のとき$$P_n={\rho }^{2k}\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right),$$$n=2k$ のとき$$P_n={\rho }^{2k-2}\left(\begin{array}{c}cp+eq\\ ep-cq\end{array}\right)\mathrm{.}$$これが求める座標である。

$Q,R$ は2直線への正射影で，$P_2$ は平行四辺形の第4頂点。

2直線の傾きを角度で表し，その内角の二等分線を新しい横軸に選ぶ。この座標では2本の直線は横軸となす角が $\pm \delta$ となる。2つの正射影の和から恒等変換を引くと，角の二等分線に関する鏡映と縮小の合成になるため，反復の偶奇が幾何的に見える。

(1) 方向ベクトル$$\vec{u}=(1,a),\vec{v}=(1,b)$$への正射影を取る。よって$$Q={\displaystyle \frac{(p,q)\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}}\vec{u}={\displaystyle \frac{p+aq}{1+a^2}}(1,a),$$$$R={\displaystyle \frac{(p,q)\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}}\vec{v}={\displaystyle \frac{p+bq}{1+b^2}}(1,b)\mathrm{.}$$(2) 直線 $l,m$ が $x$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ$$0<\beta <\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$を満たす $\alpha ,\beta$ とする。角の二等分線方向を第1軸，それに垂直な方向を第2軸に取ると，2直線は第1軸とそれぞれ $\delta =(\alpha -\beta )\mathrm{/}2$，$-\delta$ の角をなす。

この座標で，角 $\delta$ の直線への正射影を表す行列は$$\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\delta & \sin \delta \cos \delta \\ \sin \delta \cos \delta & {\sin }^2\delta \end{array}\right)$$であり，角 $-\delta$ の直線への正射影では非対角成分の符号だけが反転する。したがって，$P_2=Q+R-P_1$ を表す行列は$$\left(\begin{array}{cc}2{\cos }^2\delta -1& 0\\ 0& 2{\sin }^2\delta -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\delta & 0\\ 0& -\cos 2\delta \end{array}\right)\mathrm{.}$$ここで$$\rho =\cos 2\delta =\cos (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{1+ab}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}}$$である。よってこの変換は，角の二等分線に関する鏡映を行った後，全体を $\rho$ 倍する変換である。鏡映を2回行うと元の向きに戻るから，$$M^2={\rho }^{2}E$$が直ちに分かる。

元の座標で $P_2=Q+R-P_1$ を計算すれば$$M={\displaystyle \frac{1}{(1+a^2)(1+b^2)}}\left(\begin{array}{cc}1-a^2{b}^2& (a+b)(1+ab)\\ (a+b)(1+ab)& a^2{b}^2-1\end{array}\right)$$である。

(3) したがって$$P_n=M^{n-1}{P}_1$$において，奇数番目では元の方向のまま ${\rho }^{n-1}$ 倍され，偶数番目では1回鏡映された方向のまま ${\rho }^{n-1}$ 倍される。これを元の $x,y$ 座標へ戻すと，解法1の$$\{\begin{array}{l}{P}_{2k+1}={\rho }^{2k}(p,q{)}^T,\\ P_{2k}={\rho }^{2k-2}(cp+eq,ep-cq{)}^T\end{array}$$を得る。