大阪大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $OX$ 方向の単位ベクトルを ${\vec{e}}_1$，$OY$ 方向の単位ベクトルを ${\vec{e}}_2$ とする。$\mathrm{\angle }XOY={60}^{\circ }$ より $${\vec{e}}_1\cdot {\vec{e}}_2=\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

点 $O,A,B$ がこの順に $OX$ 上にあり，$AB=s$ であるから $$\overrightarrow{AB}=s{\vec{e}}_1$$ である。同様に $CD=t$ より $$\overrightarrow{CD}=t{\vec{e}}_2$$ である。 $M$ は $AC$ の中点，$N$ は $BD$ の中点であるから，位置ベクトルで書くと$$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{2}},\overrightarrow{ON}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{MN}}& {\displaystyle =\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(s{\vec{e}}_1+t{\vec{e}}_2)\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M{N}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(s{\vec{e}}_1+t{\vec{e}}_2)\cdot (s{\vec{e}}_1+t{\vec{e}}_2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\{s^2+t^2+2st({\vec{e}}_1\cdot {\vec{e}}_2)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(s^2+st+t^2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$MN={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{s^2+st+t^2}$$ である。

(2)

条件 $s^2+t^2=1$ のもとで，(1)の式は $M{N}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}(1+st)$ となる。$s,t$ は長さなので正である。相加平均・相乗平均の関係，または $(s-t{)}^2\geqq 0$ より $2st\leqq s^2+t^2=1$ である。したがって $st\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり，等号は $s=t$ のとき，すなわち $s=t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ のとき成り立つ。

よって $$M{N}^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}(1+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{3}{8}}$$ である。したがって $MN$ の最大値は $$\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{8}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ である。

中点を結ぶベクトルは$$\overrightarrow{MN}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})$$。