大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第1問

(1)

曲線$C:y=x^3-kx$の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-k$ である．したがって，点$A(a,a^3-ka)$における接線$l_1$の傾きは$3a^2-k$であり，接線の方程式は $$y-(a^3-ka)=(3a^2-k)(x-a)$$ である．これを整理すると $y=(3a^2-k)x-2a^3$ となる．

この直線と曲線$C$の交点の$x$座標は $x^3-kx=(3a^2-k)x-2a^3$ を満たす．両辺を移項すると $x^3-3a^{2}x+2a^3=0$ である．ここで$x=a$は接点Aに対応する重解になるので，実際に因数分解すると $$x^3-3a^{2}x+2a^3=(x-a{)}^2(x+2a)$$ である．よってA以外の交点Bの$x$座標は $-2a$ である．なお$ae0$より$-2aea$であり，確かにAとは異なる点である．

(2) $l_1$の傾きは $3a^2-k$ である．また(1)よりBの$x$座標は$-2a$なので，点Bにおける接線$l_2$の傾きは $3(-2a{)}^2-k=12a^2-k$ である．

2直線が直交するための条件は，それぞれの傾きの積が$-1$であることだから $(3a^2-k)(12a^2-k)=-1$ である．したがって求める条件は $(3a^2-k)(12a^2-k)=-1$ である．

(3) $u=a^2$とおく．条件$ae0$より $u>0$ である．(2)の条件は $(3u-k)(12u-k)=-1$ すなわち $36u^2-15ku+k^2+1=0$ となる．この二次方程式が$u>0$の解をもつような$k$を求めればよい．

まず$k\leqq 0$のとき，$u>0$に対して $$36u^2>0,-15ku\geqq 0,k^2+1>0$$ であるから $36u^2-15ku+k^2+1>0$ となり，解は存在しない．

次に$k>0$とする．このとき二次方程式が実数解をもつ条件は判別式が0以上であること，すなわち$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }}& {\displaystyle =(-15k{)}^2-4\cdot 36(k^2+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =225k^2-144k^2-144}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =81k^2-144\geqq 0}\end{array}$$である．よって $$k^2\geqq {\displaystyle \frac{16}{9}}$$ であり，$k>0$だから $$k\geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$$ を得る．

さらにこのとき，解は $$u={\displaystyle \frac{15k\pm \sqrt{81k^2-144}}{72}}$$ である．$k>0$では$$\sqrt{81k^2-144}<15k$$なので，実数解が存在すればどちらの解も正である．したがって$u>0$という条件も満たされる．

以上より，求める$k$の範囲は $$k\geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である．

(1) (2)は接線の傾きを直接求める．(3)では $u=a^2$ とおいた二次式を平方完成し，$u>0$ 上の最小値が0以下となる条件から $k$ の範囲を決める．判別式を用いる主解法と異なり，頂点の位置も同時に確認できる．

(1)

点 $A$ における接線と曲線との交点方程式は$$x^3-3a^{2}x+2a^3=(x-a{)}^2(x+2a)=0$$である．したがって，$A$ 以外の交点 $B$ の $x$ 座標は$$-2a$$である．

(2)

2本の接線の傾きはそれぞれ$$3a^2-k,12a^2-k$$なので，直交条件は$$(3a^2-k)(12a^2-k)=-1$$である．

(3)

$u=a^2>0$ とおくと$$F(u)=36u^2-15ku+k^2+1=0$$となる．$k\leqq 0$ なら $u>0$ に対して各項から $F(u)>0$ であり，解はない．そこで $k>0$ とする．$F$ は下に凸の二次式で，頂点$$u={\displaystyle \frac{15k}{72}}={\displaystyle \frac{5k}{24}}>0$$における最小値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F\left({\displaystyle \frac{5k}{24}}\right)}& {\displaystyle =k^2+1-{\displaystyle \frac{(15k{)}^2}{4\cdot 36}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{81k^2}{144}}}\end{array}$$である．よって $u>0$ に解をもつ条件は$$1-{\displaystyle \frac{81k^2}{144}}\leqq 0$$であり，$k>0$ と合わせて$$k\geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$$となる．