大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$f(x)=2\log (1+e^x)-x-\log 2$$ である。まず微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot \frac{e^x}{1+e^x}-1=\frac{2e^x-(1+e^x)}{1+e^x}=\frac{e^x-1}{e^x+1}$$である。さらに $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1{)}^2}=\frac{2e^x}{(1+e^x{)}^2}}$$ である。特に $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。

一方，$$e^{-f(x)}=e^{-2\log (1+e^x)+x+\log 2}$$ であるから $${\displaystyle e^{-f(x)}=\frac{2e^x}{(1+e^x{)}^2}}$$ となる。よって $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{-f(x)}$ である。両辺は正なので対数をとることができ，$\log f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-f(x)$ が成り立つ。

(2) $L=\log 2$ とおく。(1)より $e^{-f(x)}=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ であるから，求める積分は$$I={\int }_0^L(x-L)f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)dx$$である。

部分積分を用いると$$I={[(x-L)f^{\mathrm{\prime }}(x)]}_0^L-{\int }_0^L{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx$$である。ここで $x=L$ では $(x-L)=0$ であり，$x=0$ では $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{1-1}{1+1}=0}$$ である。したがって境界項は0で，$$I=-{\int }_0^L{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=-(f(L)-f(0))=f(0)-f(L)$$となる。 $f(0)$ は $$f(0)=2\log 2-0-\log 2=\log 2$$ である。また $L=\log 2$ なので $e^L=2$ であり，$$f(L)=2\log (1+2)-\log 2-\log 2=2\log 3-2\log 2$$ である。

ゆえに $${\displaystyle I=\log 2-(2\log 3-2\log 2)=3\log 2-2\log 3=\log \frac{8}{9}}$$ である。積分区間では $x-L\leqq 0$，$e^{-f(x)}>0$ なので，結果が負になることとも合っている。