大阪大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $f(x)=(N-x)\log x$ を微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\log x+{\displaystyle \frac{N-x}{x}}={\displaystyle \frac{N}{x}}-1-\log x$$ であり，さらに $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{N}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}<0$$ である。したがって曲線 $y=f(x)$ は $1\leqq x\leqq N$ で上に凸であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調に減少する。

端点での導関数の符号は $f^{\mathrm{\prime }}(1)=N-1>0$ および $$f^{\mathrm{\prime }}(N)=1-1-\log N=-\log N<0$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}$ は連続かつ単調減少なので，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となる点は $(1,N)$ にただ1つ存在する。その点までは $f$ は増加し，その点以後は減少する。よって $f(x)$ は極大値を1つだけとる。

(2) $$\log a_n=\log \left(n^{N-n}\right)=(N-n)\log n=f(n)$$ である。対数関数は増加関数なので，$a_n$ の大小は $f(n)$ の大小と同じである。

ここで $${\mathrm{\Delta }}_n=f(n+1)-f(n)(n=1,2,\dots ,N-1)$$ とおく。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調減少であるから，区間 $[n,n+1]$ での増加量 ${\mathrm{\Delta }}_n$ は $n$ が増えるにつれて単調に減少する。実際，$${\mathrm{\Delta }}_n={\int }_n^{n+1}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx$$である。$f^{\mathrm{\prime }}$ が狭義単調減少なので，区間を1だけ右へ移した ${\mathrm{\Delta }}_{n+1}$ は ${\mathrm{\Delta }}_n$ より小さい。

したがって数列 $f(1),f(2),\dots ,f(N)$ は，差 ${\mathrm{\Delta }}_n$ が正である間は増加し，負になった後は減少する。もし ${\mathrm{\Delta }}_n=0$ となる $n$ があれば，$f(n)=f(n+1)$ となるが，${\mathrm{\Delta }}_n$ は単調に減少するので，そのような場所は高々1か所である。

よって最大値をとる $n$ は1個，または隣り合う2個に限られる。したがって $k\leqq 2$ である。

(3) $k=2$ とする。(2)より，最大値をとる2つの添字は隣り合っている。したがって，ある $n$ $(1\leqq n\leqq N-1)$ について $a_n=a_{n+1}$ である。すなわち $n^{N-n}=(n+1{)}^{N-n-1}$ である。 $m=N-n-1$ とおくと，$m\geqq 0$ であり，この等式は $n^{m+1}=(n+1{)}^m$ となる。$n$ と $n+1$ は互いに素である。もし $n\geqq 2$ なら，左辺は $n$ で割り切れるが，右辺は $n$ で割り切れないので不可能である。したがって $n=1$ でなければならない。 $n=1$ を等式に戻すと $1^{N-1}=2^{N-2}$ であるから $2^{N-2}=1$ となり，$N=2$ である。

逆に $N=2$ のとき，$$a_1=1^1=1,a_2=2^0=1$$ であるから，最大値をとる $n$ は $1,2$ の2個であり，確かに $k=2$ である。

以上より，$k=2$ となるのは $N=2$ のときだけである。

上に凸な曲線では，単位区間ごとの増加量
${\mathrm{\Delta }}_n=f(n+1)-f(n)$ が順に小さくなる。