大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第5問

(1)
共通接点の $x$ 座標を $t$ とする。$a\log x$ が定義されるため $t>0$ である。点 $P$ が両方の曲線上にあるので、関数値の一致から $t^n=a\log t$ である。また接線の傾きが等しいので、微分係数の一致から $$n{t}^{n-1}={\displaystyle \frac{a}{t}}$$ である。$t>0$ だから、これより $a=n{t}^n$ を得る。これを $t^n=a\log t$ に代入すると $t^n=n{t}^n\log t$ である。$t^n>0$ なので割ることができ、$1=n\log t$ すなわち $\log t={\displaystyle \frac{1}{n}}$ である。したがって $$t=e^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$$ であり、$$a=n{t}^n=n{\left(e^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}\right)}^n=ne$$ である。

(2)
まず$$S_1={\int }_0^t{x}^{n}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}\right]}_0^t={\displaystyle \frac{t^{n+1}}{n+1}}$$である。

次に $$t=e^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}>1$$ であり、曲線 $y=a\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。したがって $$S_2={\int }_1^{t}a\log xdx$$ である。$$\int \log xdx=x\log x-x$$ より、$$S_2=a{[x\log x-x]}_1^t=a(t\log t-t+1)$$ となる。

(1) の結果 $$t=e^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$$、$a=ne$、$$\log t={\displaystyle \frac{1}{n}}$$ を用いると、$$S_2=ne({\displaystyle \frac{t}{n}}-t+1)=e\{t-nt+n\}=e\{n-(n-1)t\}$$ である。また $t^n=e$ だから $$S_1={\displaystyle \frac{t^{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{et}{n+1}}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e\{n-(n-1)t\}}{{\displaystyle \frac{et}{n+1}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)({\displaystyle \frac{n}{t}}-(n-1))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)\{n{e}^{-{\displaystyle \frac{1}{n}}}-n+1\}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
(a) $$F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\{e^{-x}+x-1\}={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-e^{-x}-x+1$$ とおく。すると $F(0)=0$ であり、$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=x+e^{-x}-1,F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-e^{-x}$$ である。$x\geqq 0$ では $0<e^{-x}\leqq 1$ だから $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-e^{-x}\geqq 0$ である。よって $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加し、$F^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。したがって $F(x)$ も $x\geqq 0$ で単調増加し、$F(x)\geqq F(0)=0$ となる。すなわち $$e^{-x}+x-1\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ である。

(b) $$G(x)=e^{-x}+x-1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$$ とおく。示すべき不等式は $G(x)\geqq 0$ である。まず $G(0)=0$ であり、$$G^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}+1-x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\{e^{-x}+x-1\}$$ である。(a) で示した不等式より、$x\geqq 0$ では $G^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。したがって $G(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加し、$G(x)\geqq G(0)=0$ である。よって $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq e^{-x}+x-1$$ が成り立つ。

(4)
(2) より $${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}=(n+1)\{n{e}^{-{\displaystyle \frac{1}{n}}}-n+1\}$$ である。ここで $x={\displaystyle \frac{1}{n}}$ とおくと、$n\to \mathrm{\infty }$ のとき $x\to +0$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{x}}+1)({\displaystyle \frac{e^{-x}}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+x){\displaystyle \frac{e^{-x}+x-1}{x^2}}}\end{array}$$となる。

(3) の不等式を $x>0$ で $x^2$ によって割ると、$${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{6}}\leqq {\displaystyle \frac{e^{-x}+x-1}{x^2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。$x\to +0$ のとき、左端も右端も ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ に近づくので、はさみうちの原理により $$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^{-x}+x-1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。また $1+x\to 1$ だから、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

共通接線をもつ2曲線

不等式部分を積分表示$$e^{-x}+x-1={\int }_0^x(1-e^{-u})du$$へ直し，被積分関数を2本の多項式ではさんで積分する．

(1)

接点での関数値と傾きの一致から$$t=e^{{\displaystyle \frac{1}{n}}},a=ne$$を得る．

(2)

2つの面積を積分すると$${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}=(n+1)\{n{e}^{-{\displaystyle \frac{1}{n}}}-n+1\}$$となる．

(3)
(3) の評価は積分を使って示すこともできる。$x\geqq 0$ で $$e^{-x}+x-1={\int }_0^x(1-e^{-u})du$$ である。まず $1-e^{-u}\leqq u$ は、$H(u)=e^{-u}-1+u$ とおくと $H(0)=0$、$H^{\mathrm{\prime }}(u)=1-e^{-u}\geqq 0$ から従う。また $u-u^{{\displaystyle \frac{2}{2}}}\leqq 1-e^{-u}$ は、$$K(u)=1-u+u^{{\displaystyle \frac{2}{2}}}-e^{-u}$$ とおくと $K(0)=0$、$K^{\mathrm{\prime }}(u)=-1+u+e^{-u}$、$K^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(u)=1-e^{-u}\geqq 0$ なので $K^{\mathrm{\prime }}(u)\geqq K^{\mathrm{\prime }}(0)=0$、したがって $K(u)\geqq 0$ から従う。よって $$u-{\displaystyle \frac{u^2}{2}}\leqq 1-e^{-u}\leqq u$$ を $0\leqq u\leqq x$ で積分すれば $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq e^{-x}+x-1\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ が得られる。

(4)

(3) で得た評価を $x^2$ で割り，$$x={\displaystyle \frac{1}{n}}\to +0$$ とすれば，はさみうちの原理から$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$を得る．