阪大 2011年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $x ≧ 1$ なら定数項も $x$ の倍で押さえられることを使う。(2)は $k = a / 3$ と置いて $f (x) - (x + k)^{3}$ の $x^{2}$ 項を消し、残った一次式を(1)で $r x$ 以下に抑える。さらに立方差の公式を $α = \sqrt[3]{f (x)}$ 、 $β = x + k$ に適用し、分母を $x^{2}$ 以上と評価して $l / x$ 型にする。(3)は $\sqrt[3]{f (n)} - n$ が整数であり、かつ固定実数 $k$ に近づくことから、十分大きな $n$ では同じ整数 $m$ に固定されると示す。無限個の自然数で一致する2つの3次多項式は恒等的に等しい。

解答

(1) $x ≧ 1$ なら $∣ p x + q ∣ ≦ ∣ p ∣ x + ∣ q ∣$ である。また $x ≧ 1$ より $∣ q ∣ ≦ ∣ q ∣ x$ であるから $∣ p x + q ∣ ≦ (∣ p ∣ + ∣ q ∣) x$ である。したがって $r = ∣ p ∣ + ∣ q ∣$ とすれば、求める条件 $x ≧ 1 ⟹ ∣ p x + q ∣ ≦ r x$ が成り立つ。

(2) $k = \frac{a}{3}$ とおく。このとき $(x + k)^{3} = x^{3} + 3 k x^{2} + 3 k^{2} x + k^{3}$ であり、 $3 k = a$ なので $x^{2}$ の係数が $f (x)$ と一致する。したがって $f (x) - (x + k)^{3}$ は高々一次式である。実際に $f (x) - (x + k)^{3} = (b - 3 k^{2}) x + (c - k^{3})$ である。

(1) より、ある定数 $r$ が存在して、 $x ≧ 1$ なら $∣ f (x) - (x + k)^{3} ∣ ≦ r x$ が成り立つ。

ここで $α = \sqrt[3]{f (x)}, β = x + k$ とおく。与えられた恒等式 $(α - β) (α^{2} + α β + β^{2}) = α^{3} - β^{3}$ を用いると $∣ \sqrt[3]{f (x)} - (x + k) ∣ = \frac{∣ f (x) - (x + k)^{3} ∣}{α^{2} + α β + β^{2}}$ である。 $a, b, c$ は正で、 $x ≧ 1$ であるから $f (x) > 0$ であり、 $α > 0$ である。また $k = a / 3 > 0$ なので $β = x + k ≧ x$ である。よって $α^{2} + α β + β^{2} ≧ β^{2} ≧ x^{2}$ である。したがって $∣ \sqrt[3]{f (x)} - x - k ∣ ≦ \frac{r x}{x^{2}} = \frac{r}{x}$ である。よって $l = r$ とすればよい。

(3)

(2) で得た定数 $k, l$ に対して、すべての自然数 $n$ について $∣ \sqrt[3]{f (n)} - n - k ∣ ≦ \frac{l}{n}$ が成り立つ。仮定より $\sqrt[3]{f (n)}$ は自然数であるから $M_{n} = \sqrt[3]{f (n)} - n$ は整数である。上の不等式は $∣ M_{n} - k ∣ ≦ \frac{l}{n}$ と書ける。 $n$ を十分大きく取れば $\frac{l}{n} < \frac{1}{2}$ である。このとき整数 $M_{n}$ は固定された実数 $k$ から距離 $1 / 2$ 未満の範囲にある。長さ1未満の区間には整数は高々1つしか入らないので、十分大きな $n$ について $M_{n}$ は同じ整数に等しい。この整数を $m$ とおく。

すると十分大きなすべての自然数 $n$ について $\sqrt[3]{f (n)} - n = m$ であるから $f (n) = (n + m)^{3}$ である。

ここで2つの多項式 $f (x) と (x + m)^{3}$ を考える。これらは十分大きなすべての自然数 $n$ で一致するので、無限に多くの $x$ で一致する。したがって多項式として恒等的に等しい。よって $f (x) = (x + m)^{3}$ である。

最後に $m$ が自然数であることを確認する。恒等式 $f (x) = (x + m)^{3} = x^{3} + 3 m x^{2} + 3 m^{2} x + m^{3}$ と $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ を比べると $a = 3 m, b = 3 m^{2}, c = m^{3}$ である。 $a, b, c$ は正なので $m > 0$ であり、また上で $m$ は整数であったから、 $m$ は自然数である。

総評

立方根の近似評価から整数値条件を固定する論証問題で、阪大2011の中でも抽象度が高い。(2)で $k = a / 3$ と置く理由は、 $(x + k)^{3}$ と $f (x)$ の $x^{2}$ 項を一致させ、差を一次式まで落とすためである。(3)では「整数が固定実数にいくらでも近づくなら、最終的には一定」という離散性を明確に書く必要がある。無限個の点で一致する多項式は同一、という最後の締めも採点点である。目安時間は35分程度。

出典: 大阪大学 2011年度前期日程数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方針

解答

総評

大阪大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問