大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3p{x}^2+2qx+r$ である。$x=0$ と $x=\alpha$ で極値をとるので、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$、$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$ である。$\alpha \mathrm{\ne }0$ だから、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は異なる2つの根 $0,\alpha$ をもち、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3px(x-\alpha )$ と書ける。これを展開すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3p{x}^2-3p\alpha x$ である。係数を比較して $$r=0,2q=-3p\alpha$$ すなわち $$q=-\frac{3p\alpha }{2}$$ を得る。

また、$x=0$ のときの値が $M$ であるから $f(0)=s=M$ である。さらに $x=\alpha$ のときの値が $m$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m=f(\alpha )}& {\displaystyle =p{\alpha }^3+q{\alpha }^2+s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p{\alpha }^3-\frac{3p\alpha }{2}{\alpha }^2+M}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =M-\frac{p{\alpha }^3}{2}}\end{array}$$である。したがって $$\frac{p{\alpha }^3}{2}=M-m$$ より $$p=\frac{2(M-m)}{{\alpha }^3}$$ である。これを $$q=-\frac{3p\alpha }{2}$$ に代入して $$q=-\frac{3(M-m)}{{\alpha }^2}$$ を得る。

以上より$$p=\frac{2(M-m)}{{\alpha }^3},q=-\frac{3(M-m)}{{\alpha }^2},r=0,s=M$$である。

最後に極大・極小の向きを確認する。極大値 $M$ と極小値 $m$ について $M>m$ であるから、$$p\alpha =\frac{2(M-m)}{{\alpha }^2}>0$$ である。よって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3px(x-\alpha )$ の符号は、$x=0$ の前後で正から負へ、$x=\alpha$ の前後で負から正へ変わる。したがって $x=0$ で極大、$x=\alpha$ で極小となり、条件と一致する。

極値をとる2点から導関数を $f^{\mathrm{\prime }}(x)=kx(x-\alpha )$ とおく。極小値と極大値の差 $m-M$ を $f^{\mathrm{\prime }}$ の定積分として計算すれば、比例定数 $k$ が直接決まる。あとは導関数と元の3次式の係数を比較し、$f(0)=M$ を使う。

$x=0,\alpha$ で極値をとり、$\alpha \mathrm{\ne }0$ であるから、ある零でない定数 $k$ を用いて$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=kx(x-\alpha )$$と書ける。

ここで極値の差を積分で表すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m-M}& {\displaystyle =f(\alpha )-f(0)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\alpha }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k{\int }_0^{\alpha }x(x-\alpha )dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k{[\frac{x^3}{3}-\frac{\alpha x^2}{2}]}_0^{\alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{k{\alpha }^3}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$k=\frac{6(M-m)}{{\alpha }^3}\mathrm{.}$$一方$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3p{x}^2+2qx+r=k{x}^2-k\alpha x$$である。係数を比較すると$$3p=k,2q=-k\alpha ,r=0.$$よって$$p=\frac{2(M-m)}{{\alpha }^3},q=-\frac{3(M-m)}{{\alpha }^2},r=0.$$また $f(0)=s=M$ だから$$s=M\mathrm{.}$$以上が求める係数である。