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大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

曲線C:y=−x2−1を考える．

(1) tが実数全体を動くとき，曲線C上の点(t, −t2−1)を頂点とする放物線
y=34(x−t)2−t2−1が通過する領域をxy平面上に図示せよ．

(2) Dを(1)で求めた領域の境界とする．Dがx軸の正の部分と交わる点を(a, 0)とし，
x=aでのCの接線をlとする．Dとlで囲まれた部分の面積を求めよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安22分

図形と方程式、積分　軌跡、面積計算、微分による最大最小

方針

(1) は，固定した x に対して放物線族の式を t の2次式として見る。係数が負なので，その最大値が各 x で到達できる上限になり，通過領域はその上限以下の部分になる。(2) は境界 D を明確にし，正の x 軸との交点を求める。曲線 C の接線と D の交点を出したら，上下関係を確認して2つの曲線の差を積分する。

解答

(1) 与えられた放物線は y=34(x−t)2−t2−1 である。これを t について整理すると y=34x2−32xt−14t2−1 である。

ここで x を固定して考える。右辺は t の2次式で，t2 の係数が −1/4 なので，下向きに開き，最大値をもつ。平方完成すると 34x2−32xt−14t2−1=−14(t+3x)2+3x2−1 である。したがって，固定した x に対して取り得る y の最大値は 3x2−1 であり，これは t=−3x のとき実際に達成される。

また，t を大きく動かすと −14(t+3x)2 の項により y はいくらでも小さくなる。よって，放物線族が通過する領域は y≦3x2−1 である。境界は放物線 D:y=3x2−1 である。

(2) 境界 D と x 軸の正の部分との交点を (a,0) とする。D は y=3x2−1 なので 3a2−1=0,a>0 より a=13 である。

曲線 C:y=−x2−1 の導関数は y′=−2x であるから，x=a における接線 l は y=−2a(x−a)−a2−1 である。整理して l:y=−2ax+a2−1 である。

次に D と l の交点を求める。 3x2−1=−2ax+a2−1 より 3x2+2ax−a2=0 である。これを解くと x=−2a±4a2+12a26=−2a±4a6 だから x=−a,x=a3 である。

この区間では l−D=(−2ax+a2−1)−(3x2−1)=−3x2−2ax+a2 であり，交点の間で正である。したがって求める面積はS=∫−aa/3(−3x2−2ax+a2) dxである。計算するとS=[−x3−ax2+a2x]−aa/3であり，(−a327−a39+a33)−(a3−a3−a3)=5a327+a3=32a327となる。a=1/3 より S=3227⋅133=323243 である。

通過領域と面積を作る2曲線

青線が境界 D、青い領域が y≦3x2−1。橙線が接線 l で、橙色部分を2曲線の差で積分する。

別解

方針

(1) 放物線族の式を t の2次方程式へ移項し、実数 t が存在するための判別式条件で通過領域を求める。(2) は境界と接線の交点で積分区間を決める。

解答

(1) 与式を t について整理するとt2+6xt−3x2+4y+4=0である。点 (x,y) を放物線族のいずれかが通るための必要十分条件は、この方程式が実数解 t をもつことである。判別式を Dt とするとDt4=9x2−(−3x2+4y+4)=4(3x2−y−1).したがって Dt≧0 はy≦3x2−1と同値である。よって通過領域はこの不等式の表す領域で、境界を含む。

(2) 境界を D:y=3x2−1 とする。正の x 軸との交点はa=13である。曲線 C:y=−x2−1 の x=a における接線はl:y=−2ax+a2−1であり、D との交点の x 座標は −a,a/3 である。よって面積はS=∫−aa/3{−3x2−2ax+a2} dx=32a327=323243.

総評

目安時間は22分前後。入口は放物線族を t の2次式として見て，包絡線ではなく各 x での最大値を求めることにある。面積計算では，境界 D:y=3x2−1，正の交点 a=1/3，接線 l の式，交点 −a,a/3 を順に確認するのが得点源である。平方完成の符号や，接線が曲線 C ではなく D と作る領域を積分する点を取り違えやすい。

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出典: 大阪大学 2010年度 前期 数学（文系）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。