大阪大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $AP$ は円の接線なので $OP\perp AP$ である。$AO=2$、$OP=1$ より、直角三角形 $AOP$ で$$\sin \mathrm{\angle }OAP=\frac{1}{2}$$であるから $\mathrm{\angle }OAP=\pi \mathrm{/}6$ である。したがって $l_k$ が $AO$ となす角を ${\theta }_k$ とすると$${\theta }_k=\frac{k\pi }{6n}\mathrm{.}$$

接線が作る角 $\pi \mathrm{/}6$ を $n$ 等分し、各割線の2交点を考える。

点 $A$ から $l_k$ に沿って距離 $r$ だけ進んだ点の座標は$$(-2+r\cos {\theta }_k,r\sin {\theta }_k)$$である。これが円 $x^2+y^2=1$ 上にある条件は$$r^2-4r\cos {\theta }_k+3=0$$である。その2根は $A{Q}_k,A{R}_k$ であり$$A{Q}_k+A{R}_k=4\cos {\theta }_k,A{R}_k-A{Q}_k=2\sqrt{4{\cos }^2{\theta }_k-3}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{R}_k^2-A{Q}_k^2}& {\displaystyle =(A{R}_k-A{Q}_k)(A{R}_k+A{Q}_k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\cos {\theta }_k\sqrt{4{\cos }^2{\theta }_k-3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\cos \frac{k\pi }{6n}\sqrt{1-4{\sin }^2\frac{k\pi }{6n}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $$h(\theta )=8\cos \theta \sqrt{1-4{\sin }^2\theta }$$ とおく。(1)より求める極限は$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n-1}h\left(\frac{k\pi }{6n}\right)=\frac{6}{\pi }{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}h(\theta )d\theta \mathrm{.}$$ここで $u=2\sin \theta$ とおくと $du=2\cos \theta d\theta$ であり、積分区間は $0\leqq u\leqq 1$ となる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}h(\theta )d\theta }& {\displaystyle =4{\int }_0^1\sqrt{1-u^2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\cdot \frac{\pi }{4}=\pi \mathrm{.}}\end{array}$$最後の積分は半径1の円の第1象限部分の面積である。よって求める極限は$$\frac{6}{\pi }\cdot \pi =6$$である。

割線と円の交点を二次方程式で解かず、中心から弦へ下ろした垂線と弦の中点を用いて $A{Q}_k,A{R}_k$ の和と差を幾何的に得る。後半は区分求積法と4分円の面積で極限を評価する。

(1)

弦の中点と点の冪を用いる。

$AP$ は円 $C$ の接線で、$AO=2,OP=1$ だから$$\mathrm{\angle }OAP=\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$したがって直線 $l_k$ が $AO$ となす角を$${\theta }_k=\frac{k\pi }{6n}$$とおける。

$l_k$ が円の内部に作る弦 $Q_k{R}_k$ の中点を $M_k$ とする。
円の中心から弦への垂線は弦を二等分するので $O{M}_k\perp l_k$ である。
直角三角形 $AO{M}_k$ から$$A{M}_k=AO\cos {\theta }_k=2\cos {\theta }_k,O{M}_k=2\sin {\theta }_k$$を得る。半径は1だから$$M_k{R}_k=M_k{Q}_k=\sqrt{1-O{M}_k^2}=\sqrt{1-4{\sin }^2{\theta }_k}\mathrm{.}$$$$A{Q}_k=A{M}_k-M_k{Q}_k,A{R}_k=A{M}_k+M_k{R}_k$$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{R}_k^2-A{Q}_k^2}& {\displaystyle =4A{M}_k\cdot M_k{R}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\cos {\theta }_k\sqrt{1-4{\sin }^2{\theta }_k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\cos \frac{k\pi }{6n}\sqrt{1-4{\sin }^2\frac{k\pi }{6n}}\mathrm{.}}\end{array}$$

接線が作る角 $\pi \mathrm{/}6$ を $n$ 等分し、各割線の2交点を考える。

(2)$$h(\theta )=8\cos \theta \sqrt{1-4{\sin }^2\theta }$$ とおくと、
求める極限は区分求積法により$$\frac{6}{\pi }{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}h(\theta )d\theta$$である。$u=2\sin \theta$ と置けば$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}h(\theta )d\theta =4{\int }_0^1\sqrt{1-u^2}du=\pi \mathrm{.}$$よって求める極限は$$\frac{6}{\pi }\cdot \pi =6$$である。