大阪大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ とおく。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ なので $c,s\geqq 0$ である。点は $$P=(0,s),Q=(8c,0)$$ であるから、$c>0,s>0$ のとき線分 $PQ$ を含む直線は $$\frac{x}{8c}+\frac{y}{s}=1$$ で表される。端の $\theta =0,\pi \mathrm{/}2$ は極限として同じ領域の境界に含まれる。

直線群 $$F(x,y,\theta )=\frac{x}{8\cos \theta }+\frac{y}{\sin \theta }-1=0$$ の包絡線を求める。包絡線上では $F=0$ に加えて、$\theta$ で微分した式も0である。すなわち $$\frac{x\sin \theta }{8{\cos }^2\theta }-\frac{y\cos \theta }{{\sin }^2\theta }=0$$ である。$$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ と書くと $$\frac{xs}{8c^2}=\frac{yc}{s^2}$$ であり、$x{s}^3=8y{c}^3$ を得る。

一方、直線の式は $$\frac{x}{8c}+\frac{y}{s}=1$$ である。この2式を満たす点を求めると $x=8c^3,y=s^3$ となる。

線分群の包絡線は第1象限のアステロイド型曲線になる。

したがって包絡線は $${\left(\frac{x}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}+y^{2\mathrm{/}3}=c^2+s^2=1$$ である。よって上側の境界は$$y={\{1-{\left(\frac{x}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}\}}^{3\mathrm{/}2}(0\leqq x\leqq 8)$$である。 $D$ は第1象限内で、この境界の下側の部分である。したがって $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積は$$V=\pi {\int }_0^8{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^8{\{1-{\left(\frac{x}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}\}}^{3}dx$$である。

ここで $x=8u^3$ とおくと、$dx=24u^{2}du$ であり、$x=0$ から $8$ まで動くとき $u=0$ から $1$ まで動く。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =24\pi {\int }_0^1{u}^2(1-u^2{)}^{3}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =24\pi {\int }_0^1(u^2-3u^4+3u^6-u^8)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =24\pi (\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9})\mathrm{.}}\end{array}$$括弧内は$$\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9}=\frac{105-189+135-35}{315}=\frac{16}{315}$$であるから $$V=24\pi \cdot \frac{16}{315}=\frac{128\pi }{105}$$ である。

固定点がどれかの線分の下側に入るための条件を、$A\mathrm{/}c+B\mathrm{/}s$ の最小化として直接判定する。これにより通過領域の不等式を得て、同じ体積積分へ進む。

領域条件を直接最小化する。

$A=x\mathrm{/}8,B=y$ とおく。点 $(x,y)$ が、端点
$(0,\sin \theta )$ と $(8\cos \theta ,0)$ を結ぶ線分上またはその下側に
入るための条件は、正数 $c,s$ で$$c^2+s^2=1,\frac{A}{c}+\frac{B}{s}\leqq 1$$を満たすものが存在することである。

固定した $A,B\geqq 0$ に対し$$\mathrm{\Phi }(c)=\frac{A}{c}+\frac{B}{\sqrt{1-c^2}}(0<c<1)$$を最小化する。微分して ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ とすると$$\frac{A}{c^2}=\frac{Bc}{(1-c^2{)}^{3\mathrm{/}2}},$$すなわち $c:s=A^{1\mathrm{/}3}:B^{1\mathrm{/}3}$ となる。このときの最小値は$$\min (\frac{A}{c}+\frac{B}{s})={(A^{2\mathrm{/}3}+B^{2\mathrm{/}3})}^{3\mathrm{/}2}$$である。したがって $D$ の条件は$${\left(\frac{x}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}+y^{2\mathrm{/}3}\leqq 1,x\geqq 0,y\geqq 0$$である。

線分群の包絡線は第1象限のアステロイド型曲線になる。

上端を$$y={\{1-{\left(\frac{x}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}\}}^{3\mathrm{/}2}$$と書けば、回転体積は$$V=\pi {\int }_0^8{\{1-{\left(\frac{x}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}\}}^{3}dx$$である。ここで $x=8u^3$ と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =24\pi {\int }_0^1{u}^2(1-u^2{)}^{3}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =24\pi (\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =24\pi \cdot \frac{16}{315}=\frac{128\pi }{105}\mathrm{.}}\end{array}$$