大阪大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第4問

点 $P,Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p,q$ とする．$h(x)=g(x)-f(x)$ とおくと，$h(x)$ は最高次係数1の3次式である．点 $P$ では2曲線の値と接線が一致するので$$h(p)=h^{\mathrm{\prime }}(p)=0$$であり，点 $Q$ では $h(q)=0$ である．$p\mathrm{\ne }q$ だから$$h(x)=(x-p{)}^2(x-q)\mathrm{.}$$したがって$$h^{\mathrm{\prime }}(q)=(q-p{)}^2\mathrm{.}$$一方 $h^{\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }}-f^{\mathrm{\prime }}$ であり $g^{\mathrm{\prime }}(q)=3q^2$ だから$$f^{\mathrm{\prime }}(q)=3q^2-(q-p{)}^2\mathrm{.}$$点 $Q$ で2接線は直交するので，傾きの積は $-1$ である．よって$$3q^2\{3q^2-(q-p{)}^2\}=-1.$$特に $q\mathrm{\ne }0$ であり$$(q-p{)}^2=3q^2+{\displaystyle \frac{1}{3q^2}}\mathrm{.}$$相加相乗平均より$$(q-p{)}^2\geqq 2,$$等号は $3q^2=1$ のときに成り立つ．

2曲線で囲まれた部分の面積は$$S={\int }_p^q\mathrm{\mid }(x-p{)}^2(x-q)\mathrm{\mid }dx$$である．$d=\mathrm{\mid }q-p\mathrm{\mid }$ とおき，区間を長さ $d$ に拡大・縮小して計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =d^4{\int }_0^1{u}^2(1-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^4}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$$d^2\geqq 2$ だから$$S\geqq {\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$最後に等号が実現することを確認する．例えば $q=1\mathrm{/}\sqrt{3}$，$p=q-\sqrt{2}$ とし$$h(x)=(x-p{)}^2(x-q),f(x)=x^3-h(x)$$と定める．$f$ は2次以下の多項式であり，$p,q$ は異なる2共有点，$p$ では接線が一致する．また $(q-p{)}^2=2$，$3q^2=1$ なので $q$ で接線は直交する．したがって最小値は$${\displaystyle \frac{1}{3}}$$である．