大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) 自然数 $x,y$ について $2^x+3^y=43$ である。$3^y<43$ だから $y=1,2,3$ に限られる。

それぞれ調べる。 $y=1$ のとき $2^x=43-3=40$ であり，これは2の累乗ではない。 $y=2$ のとき $2^x=43-9=34$ であり，これも2の累乗ではない。 $y=3$ のとき $2^x=43-27=16=2^4$ だから $x=4$ である。

この組について第2式を確認すると ${\log }_{2}4-{\log }_{3}3=2-1=1$ である。したがって自然数解は $(x,y)=(4,3)$ である。

(2) 正の実数解を考える。第2式 ${\log }_{2}x-{\log }_{3}y=1$ は ${\log }_{2}x=1+{\log }_{3}y$ と同値である。したがって $$x=2^{1+{\log }_{3}y}=2\cdot 2^{{\log }_{3}y}$$ であり，右辺は $y>0$ において $y$ の増加関数である。つまり第2式を満たす点では，$y$ が大きいほど $x$ も大きくなる。

一方，第1式からは $2^x=43-3^y$ である。右辺が正であるために $0<y<{\log }_{3}43$ が必要であり，この範囲で $x={\log }_2(43-3^y)$ と表される。$3^y$ は $y$ の増加関数なので，$43-3^y$ は減少関数であり，さらに ${\log }_2$ も増加関数だから，この $x$ は $y$ の減少関数である。

したがって，正の実数解が2つ以上あることはない。実際，もし $y_1<y_2$ となる2つの解があれば，第2式からは $x_1<x_2$ となるが，第1式からは $x_1>x_2$ となり矛盾する。

(1) で求めた $(x,y)=(4,3)$ は正の実数解でもある。よって，これ以外の正の実数解は存在しない。

(1) 自然数候補を調べる。(2) 第2式から $x$ を $y$ の式で表して第1式へ代入し、左辺全体が狭義増加であることから解の一意性を示す。

(1) $3^y<43$ より $y=1,2,3$ である。順に調べると$$43-3^y=40,34,16$$であり、2の累乗になるのは $y=3$ のときだけである。このとき $2^x=16$ より $x=4$ で、第2式も満たす。したがって$$(x,y)=(4,3)\mathrm{.}$$(2) 第2式から$$x=2^{1+{\log }_{3}y}=2y^{{\log }_{3}2}$$である。これを第1式へ代入し$$F(y)=2^{2y^{{\log }_{3}2}}+3^y(y>0)$$とおく。$y^{{\log }_{3}2}$ は $y>0$ で狭義増加し、底が1より大きい指数関数も狭義増加するので、$F(y)$ は狭義増加である。

$y=3$ のとき $x=4$ で $F(3)=43$ である。狭義増加関数は同じ値43を2回とらないから、正の実数の範囲でも $y=3$ 以外の解はない。したがって $x=4$ も一意に定まり、他の正の実数解は存在しない。