大阪大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
極限 $$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{l{x}^2+mx+n}{x+1}$$ が有限の値として存在するためには、分母が0になる $x=-1$ で分子も0になり、分子が $x+1$ で割り切れる必要がある。

分子に $x=-1$ を代入すると $l(-1{)}^2+m(-1)+n=l-m+n$ である。したがって条件は $l-m+n=0$ すなわち $m=l+n$ である。

$l,n$ はそれぞれ $1$ から $6$ までの整数であり、さらに $m$ もさいころの目なので $l+n\leqq 6$ が必要である。和 $l+n$ が $2,3,4,5,6$ のとき、$(l,n)$ の個数はそれぞれ $1,2,3,4,5$ 通りである。したがって有利な場合は $1+2+3+4+5=15$ 通りである。

全事象は $6^3=216$ 通りで等確率だから、求める確率は $$\frac{15}{216}=\frac{5}{72}$$ である。

(2)
まず分子を $x+1$ で割ると $$l{x}^2+mx+n=(x+1)\{lx+(m-l)\}+(l-m+n)$$ である。したがって $$f(x)=lx+(m-l)+\frac{l-m+n}{x+1}$$ となる。

よって、$x>-1$ での導関数は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=l-\frac{l-m+n}{(x+1{)}^2}$$ である。ここで $l>0$ であることに注意する。

$l-m+n>0$ のとき、方程式 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $$(x+1{)}^2=\frac{l-m+n}{l}$$ となる。$x>-1$ では $x+1>0$ なので、解は $$x=-1+\sqrt{\frac{l-m+n}{l}}$$ の1つだけである。また、$x$ が $-1$ に右から近づくと $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x$ が十分大きいと $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ となるので、この点で $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は負から正に変わる。したがって $f(x)$ は $x>-1$ の範囲で極小値をとる。

一方、$l-m+n=0$ のときは $f^{\mathrm{\prime }}(x)=l>0$ であり、極値をとらない。$l-m+n<0$ のときは $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=l+\frac{m-l-n}{(x+1{)}^2}>0$$ であり、やはり極値をとらない。

以上より、$x>-1$ で極値をとるための必要十分条件は $l-m+n>0$ すなわち $m<l+n$ である。

この条件をみたさない場合、つまり $m\geqq l+n$ を数える。$l+n=s$ とおくと、$m\geqq s$ が可能なのは $s=2,3,4,5,6$ のときだけである。各 $s$ について、$(l,n)$ の個数は $s-1$ 通り、$m$ の個数は $s,s+1,\dots ,6$ の $7-s$ 通りである。したがって不利な場合の数は $$1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1=35$$ である。

よって有利な場合の数は $216-35=181$ 通りであり、求める確率は $\frac{181}{216}$ である。