大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $T_n=X_1{X}_2\cdots X_n$ が5で割り切れないためには、$n$ 回のうち一度も5の目が出ないことが必要十分である。5以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ なので $$p_n+q_n={\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$ である。

(2) $T_n$ の余りが1であるとする。このとき $T_{n+1}$ の余りも1になるには、次の目 $X_{n+1}$ の余りが1であればよい。サイコロの目で5で割った余りが1になるのは $1,6$ の2通りであるから、その確率は $2\mathrm{/}6$ である。

次に、$T_n$ の余りが $2,3,4$ のいずれかであるとする。余りを1にする次の目は、それぞれ $2\cdot 3\equiv 1,3\cdot 2\equiv 1,4\cdot 4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ に対応する1通りだけである。したがって、その確率は $1\mathrm{/}6$ である。

よって $$p_{n+1}=\frac{2}{6}{p}_n+\frac{1}{6}{q}_n$$ である。(1) より $q_n=(5\mathrm{/}6{)}^n-p_n$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{2}{6}{p}_n+\frac{1}{6}\{{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-p_n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}{p}_n+\frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^n}\end{array}$$である。したがって $$p_{n+1}=\frac{1}{6}{p}_n+\frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$ である。

(3) $$r_n={\left(\frac{6}{5}\right)}^n{p}_n$$ とおく。(2) の両辺に $(6\mathrm{/}5{)}^{n+1}$ を掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_{n+1}}& {\displaystyle ={\left(\frac{6}{5}\right)}^{n+1}\{\frac{1}{6}{p}_n+\frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{5}{\left(\frac{6}{5}\right)}^n{p}_n+\frac{1}{5}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{5}{r}_n+\frac{1}{5}}\end{array}$$となる。

また、1回目で余りが1となるのは目が1または6の場合なので $p_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ であり、$$r_1=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{5}$$ である。漸化式 $$r_{n+1}=\frac{1}{5}{r}_n+\frac{1}{5}$$ の一定値を $c$ とすると $c=\frac{1}{5}c+\frac{1}{5}$ より $c=\frac{1}{4}$ である。したがって $$r_{n+1}-\frac{1}{4}=\frac{1}{5}(r_n-\frac{1}{4})$$ である。

初期値から $$r_1-\frac{1}{4}=\frac{2}{5}-\frac{1}{4}=\frac{3}{20}$$ なので $$r_n-\frac{1}{4}=\frac{3}{20}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}$$ である。よって$$r_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{20}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4\cdot 5^n}$$である。したがって$$p_n={\left(\frac{5}{6}\right)}^n{r}_n={\left(\frac{5}{6}\right)}^n(\frac{1}{4}+\frac{3}{4\cdot 5^n})=\frac{5^n+3}{4\cdot 6^n}$$である。

積の余りが1となる出目列を直接数える。5は含められず、各回の選択肢 $1,2,3,4,6$ は、4つの非零剰余を1通りずつ選ぶ基本選択に、余り1の追加選択肢6を足したものと見られる。追加選択を使わない位置を $k$ 個選び、その $k$ 個の剰余の積が1になる並べ方を数えて二項定理で和を求める。

(1)

積の余りが1、2、3、4のいずれかであることは、5の目が一度も出ないことと同値である。したがって$$p_n+q_n={\left(\frac{5}{6}\right)}^n\mathrm{.}$$(2)

余り1から余り1へ進む出目は1、6の2通りである。余り2、3、4から余り1へ進む出目は、それぞれ3、2、4の1通りずつである。よって$$p_{n+1}=\frac{2}{6}{p}_n+\frac{1}{6}{q}_n=\frac{1}{6}{p}_n+\frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\mathrm{.}$$(3)

ここでは積の余りが1となる長さ $n$ の出目列を直接数える。5は使えない。出目 $1,2,3,4,6$ のうち、$1,2,3,4$ は非零剰余を1通りずつ与え、6は余り1の追加の選択肢である。

6を選ばず、$1,2,3,4$ のいずれかを選ぶ位置がちょうど $k$ 個あるとする。$k=0$ のときは全て6であり、積の余りは1となる列が1通りある。$k\geqq 1$ のとき、その $k$ 個の位置のうち最初の $k-1$ 個の剰余は自由に選べ、最後の剰余は積が1となるようにただ1通りに決まる。したがって、その剰余列は $4^{k-1}$ 通りである。

よって求める出目列の総数 $N_n$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_n}& {\displaystyle =1+\sum _{k=1}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{4}^{k-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{1}{4}\sum _{k=1}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{4}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{5^n-1}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5^n+3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$全出目列は $6^n$ 通りだから$$p_n=\frac{N_n}{6^n}=\frac{5^n+3}{4\cdot 6^n}$$である。