大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

まず$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$を示す。$0<x<\pi \mathrm{/}2$ とし、単位円上に中心角 $x$ をとる。

三角形 $OAB$、扇形 $OAB$、三角形 $OAT$ の順に面積が大きくなる。

面積比較から$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$$であり、$$\sin x<x<\tan x$$を得る。正の数で割って整理すると$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$$x\to +0$ のとき $\cos x\to 1$ だから、はさみうちの原理より$$\underset{x\to +0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$また$$\frac{\sin (-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}$$なので $\sin x\mathrm{/}x$ は偶関数である。したがって左側極限も同じであり$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$が示された。

次に加法定理より$$\sin (x+h)-\sin x=\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h$$だから$$\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}& {\displaystyle =-\frac{{\sin }^{2}h}{h(1+\cos h)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\sin h}{1+\cos h}⟶0(h\to 0)\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}}& {\displaystyle =\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos x\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $\sin x$ の導関数は $\cos x$ である。