大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

和積公式より $$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$$ であり、また $$\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$$ である。仮定より $\cos x+\cos y\mathrm{\ne }0$ だから $2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\mathrm{\ne }0$ である。したがって $\cos \frac{x+y}{2}\mathrm{\ne }0,\cos \frac{x-y}{2}\mathrm{\ne }0$ である。

よって分母を0でない量として割ることができ、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sin x+\sin y}{\cos x+\cos y}}& {\displaystyle =\frac{2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}}{2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sin \frac{x+y}{2}}{\cos \frac{x+y}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\tan \frac{x+y}{2}}\end{array}$$となる。したがって示すべき等式は成り立つ。

(2)

一般には成り立たない。反例として $$x=0,y=0,z=\pi$$ を取る。このとき $$\cos x+\cos y+\cos z=1+1-1=1\mathrm{\ne }0$$ であり、問題の分母は0でない。

一方、左辺は $$\tan \frac{x+y+z}{3}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$$ である。右辺は$$\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\cos x+\cos y+\cos z}=\frac{0+0+0}{1}=0$$である。したがって左辺と右辺は一致しない。よって、(2) の等式はすべての実数 $x,y,z$ に対して成り立つわけではない。