大阪大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

与えられた式を $$F=x^2+y^2-2x^2{y}^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$$ とおく。 $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1$ であるから、$$x=\sin \alpha (-\frac{\pi }{2}\leqq \alpha \leqq \frac{\pi }{2})$$と表せる。同様に$$y=\sin \beta (-\frac{\pi }{2}\leqq \beta \leqq \frac{\pi }{2})$$と表せる。この範囲では $\cos \alpha \geqq 0,\cos \beta \geqq 0$ であるから、$$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\cos \alpha ,\sqrt{1-y^2}=\cos \beta$$である。

これを $F$ に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F}& {\displaystyle ={\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta -2{\sin }^2\alpha {\sin }^2\beta +2\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha \cos \beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta +{\cos }^2\alpha {\sin }^2\beta +2\sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\sin }^2(\alpha +\beta )}\end{array}$$となる。したがって、任意の実数 $\alpha +\beta$ に対して $$0\leqq {\sin }^2(\alpha +\beta )\leqq 1$$ であるから、$0\leqq F\leqq 1$ が成り立つ。

与式そのものを1つの平方にして下限を示し、1から与式を引いたものも別の平方にして上限を示す。三角置換を用いず、2つの非負性を直接確認する。

三角置換を使わず、平方の形だけで示すこともできる。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F}& {\displaystyle =x^2(1-y^2)+y^2(1-x^2)+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}{\}}^2}\end{array}$$である。よって $F\geqq 0$ である。

また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1-F}& {\displaystyle =1-x^2-y^2+2x^2{y}^2-2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}-xy{\}}^2}\end{array}$$である。よって $1-F\geqq 0$、すなわち $F\leqq 1$ である。したがって同じく $0\leqq F\leqq 1$ が従う。