阪大 2016年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

$h = 1 / a + 1 / b$ とおき，定義による変換を2回ずつ追う。帰納的に $f_{2 k} (x) = \sin {π (k h - x)}$ ， $f_{2 k + 1} (x) = \sin {π (k h + x)}$ となるので，特に $f_{2 k} (0) = f_{2 k + 1} (0) = \sin (k π h)$ である。(1)は $h = 5 / 6$ を代入する。(2)は $f_{6} (0) = \sin (3 π h)$ より， $3 / a + 3 / b$ が整数となる $(a, b)$ を1から6の範囲で数え上げる。

解答

$h = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ とおく。まず $f_{2} (x) = f_{1} (h - x) = \sin π (h - x)$ であり， $f_{3} (x) = f_{2} (- x) = \sin π (h + x)$ である。同様に繰り返すと，正の整数 $k$ について $f_{2 k} (x) = \sin {π (k h - x)}, f_{2 k + 1} (x) = \sin {π (k h + x)}$ が成り立つ。したがって $f_{2 k} (0) = f_{2 k + 1} (0) = \sin (k π h)$ である。

(1) $a = 2, b = 3$ のとき $h = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ である。 $f_{5} (0)$ は $2 k + 1 = 5$ より $k = 2$ の場合なので， $f_{5} (0) = \sin (2 π h) = \sin \frac{5 π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

(2) $f_{6} (0)$ は $2 k = 6$ より $k = 3$ の場合なので， $f_{6} (0) = \sin (3 π h) = \sin π (\frac{3}{a} + \frac{3}{b})$ である。よって $f_{6} (0) = 0$ となる条件は $\frac{3}{a} + \frac{3}{b}$ が整数であることである。 $1 ≦ a, b ≦ 6$ について調べる。 $3 / a$ の値は $3, \frac{3}{2}, 1, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ である。この中から2つを足して整数になる組を数えると， $(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 6),$ $(3, 1), (3, 3), (6, 2), (6, 6)$ の8通りである。さいころを2回投げる全事象は36通りなので，求める確率は $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ である。

別解

解法2

方針

2段階の関数変換を合成し，奇数番の関数が1段階ごとに引数を $h$ だけ平行移動することを使う。確率小問では36組を力任せに調べず， $3 / a$ の小数部分を分類し，和が整数になる組を数える。

解答

$h = 1 / a + 1 / b$ とおく。定義（イ），（ウ）を続けて用いると $\begin{matrix} f_{2 n + 1} (x) = f_{2 n} (- x) = f_{2 n - 1} (h + x) & (1) \end{matrix}$ である。したがって奇数番の関数は2段階進むごとに引数が $h$ だけ平行移動する。 $f_{1} (x) = \sin π x$ から(1)を繰り返すと $f_{2 n + 1} (x) = \sin π (x + n h)$ であり，さらに定義（イ）から $f_{2 n} (x) = \sin π (n h - x)$ を得る。

(1) $a = 2, b = 3$ では $h = 5 / 6$ だから $f_{5} (0) = \sin (2 π h) = \sin \frac{5 π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$ (2) $f_{6} (0) = \sin 3 π h$ であるから，条件は $\begin{matrix} \frac{3}{a} + \frac{3}{b} \in Z & (2) \end{matrix}$ である。 $a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対する $3 / a$ の小数部分は，順に $0, \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ である。和が整数になるのは，小数部分0どうし，または $1 / 2$ どうしを組み合わせる場合だけである。したがって $(a, b) \in {1, 3}^{2} または (a, b) \in {2, 6}^{2}$ であり，順序つきで $4 + 4 = 8$ 通りとなる。全36通りは等確率なので，求める確率は $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ である。

総評

難度5，計算量5。目安時間は18分。関数列を直接展開し続けるのではなく，変換が「 $x$ を $h - x$ にする」「 $x$ を $- x$ にする」だけであると見ると，一般形がすぐに出る。 $f_{6} (0) = 0$ は三角関数の問題ではなく， $3 / a + 3 / b$ が整数になる有限個の数え上げである。順序つきのさいころなので， $(1, 3)$ と $(3, 1)$ を別に数える点に注意する。

出典: 大阪大学 2016年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問