大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i$$ である。したがって、実部が2に等しい条件は $ax-by=2$ であり、虚部が $-3$ に等しい条件は $ay+bx=-3$ である。すなわち $$L_1:ax-by=2,L_2:bx+ay=-3$$ である。

ここで $a^2+b^2>0$ より、$a,b$ は同時には0でない。したがって $(a,-b)\mathrm{\ne }(0,0)$、$(b,a)\mathrm{\ne }(0,0)$ であり、上の2つの式はいずれも $x,y$ の一次方程式として直線を表す。よって $L_1,L_2$ はともに直線である。

(2) $L_1:ax-by=2$ の方向ベクトルとして $(b,a)$ を取ることができる。実際、$$(a,-b)\cdot (b,a)=ab-ab=0$$ だからである。また $L_2:bx+ay=-3$ の方向ベクトルとして $(a,-b)$ を取ることができる。

これらの内積は $$(b,a)\cdot (a,-b)=ab-ab=0$$ である。したがって2つの方向ベクトルは垂直であり、$L_1$ と $L_2$ は互いに垂直である。

(3)

交点は$$\{\begin{array}{l}ax-by=2,\\ bx+ay=-3\end{array}$$を満たす点である。第1式に $a$ を掛け、第2式に $b$ を掛けて加えると $(a^2+b^2)x=2a-3b$ となる。$a^2+b^2\mathrm{\ne }0$ より $$x=\frac{2a-3b}{a^2+b^2}$$ である。

また、第2式に $a$ を掛け、第1式に $b$ を掛けたものを第2式側から引くと $(a^2+b^2)y=-3a-2b$ となる。したがって $$y=\frac{-3a-2b}{a^2+b^2}$$ である。よって交点は $(\frac{2a-3b}{a^2+b^2},\frac{-3a-2b}{a^2+b^2})$ である。

(1) (2) は実部・虚部を一次方程式へ直して直線性と垂直性を確認する。(3) では交点に対応する複素数を $z=x+yi$ とおくと、条件は1本の複素数方程式 $(a+bi)z=2-3i$ にまとまる。共役複素数を掛けて割り算し、実部と虚部を読む。

(1) $$(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i$$である。したがって$$L_1:ax-by=2,L_2:bx+ay=-3$$となる。$a^2+b^2>0$ より $(a,-b)$、$(b,a)$ はともに零ベクトルでないので、これらはどちらも直線を表す。

(2)

$L_1$ の法線ベクトルは $(a,-b)$、$L_2$ の法線ベクトルは $(b,a)$ である。その内積は$$(a,-b)\cdot (b,a)=ab-ab=0$$だから、2直線は互いに垂直である。

(3)

交点に対応する複素数を $z=x+yi$ とおく。交点では積の実部が2、虚部が $-3$ であるから$$(a+bi)z=2-3i$$である。$a+bi\mathrm{\ne }0$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z}& {\displaystyle =\frac{2-3i}{a+bi}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2-3i)(a-bi)}{a^2+b^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2a-3b)+(-3a-2b)i}{a^2+b^2}\mathrm{.}}\end{array}$$実部と虚部を比較して$$x=\frac{2a-3b}{a^2+b^2},y=\frac{-3a-2b}{a^2+b^2}$$である。したがって交点は$$(\frac{2a-3b}{a^2+b^2},\frac{-3a-2b}{a^2+b^2})$$となる。