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大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

α, βを複素数とし，複素数zに対してf(z)=z2+αz+βとおく．α, βは∣f(1)−3∣≦1かつ∣f(i)−1∣≦3を満たしながら動く．ただし，iは虚数単位である．

(1) f(1+i)がとりうる値の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．

(2) f(1+i)=0であるとき，α, βの値を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安18分

複素数平面、図形と方程式　実部虚部比較、軌跡、範囲評価

方針

A=f(1)−3，B=f(i)−1 と置くと，条件は二つの閉円板 ∣A∣≦1，∣B∣≦3 になる。f(1+i) を A,B の一次式で表し，二つの円板を回転・拡大して足した範囲を，中心 2+2i，半径 22 の円板として読む。(2) は原点がちょうど境界上にある場合なので，三角不等式の等号成立条件から A,B を一意に決める。

解答

(1) A=f(1)−3,B=f(i)−1 とおく。条件は ∣A∣≦1,∣B∣≦3 である。また f(1)=1+α+β,f(i)=−1+iα+β だから α+β=2+A,iα+β=2+B である。この2式から α,β を消去して f(1+i) を表すと f(1+i)=2+2i+1+i2A+1−i2B となる。

ここで∣1+i2A∣≦22,∣1−i2B∣≦322である。したがって，三角不等式より ∣f(1+i)−(2+2i)∣≦22 である。

逆に，任意の複素数 W が ∣W∣≦22 を満たすとき，W=U+V で ∣U∣≦22,∣V∣≦322 となるように，たとえば U,V を W と同じ向きに長さの比 1:3 で取ればよい。すると適当な A,B が存在して U=1+i2A,V=1−i2B を満たす。よって範囲は，複素数平面上で中心 2+2i，半径 22 の円およびその内部である。

(2) f(1+i)=0 のとき，中心 2+2i から原点までの距離は ∣2+2i∣=22 であり，これは(1)の半径と等しい。したがって三角不等式で等号が成立し，二つの成分 1+i2A,1−i2B はいずれも中心 2+2i から原点へ向かう向きに最大の長さをとる必要がある。

中心から原点へ向かう向きは −(1+i) の向きである。よって 1+i2A=−1+i2,1−i2B=−3(1+i)2 であり，A=−1,B=−3i となる。

したがって α+β=2+A=1,iα+β=2+B=2−3i である。2式を引くと (i−1)α=1−3i だから α=−2+i である。さらに α+β=1 より β=3−i となる。

総評

二次式の係数を直接動かすのではなく，f(1)−3 と f(i)−1 を新しい変数にするのが核心。目安時間は18分。範囲の中心 2+2i は A=B=0 のときの値で，半径は二つの円板の半径和として出る。(2) は単に連立方程式を解くだけでなく，原点が円板の境界上にあるため三角不等式の等号条件が働く，という説明が必要である。

公式出題意図との対応：複素数の演算と複素数平面上の図形的意味を結び付け、条件を活用する問題。解答では，この観点に対応する条件設定，途中式，必要十分性または検算を明示した。

出典確認：大阪大学公式の令和6年度ページ保存版で問題PDFの識別子と科目対応を確認した。問題本文は同年度の紙面PDF第2ページと原寸照合し，公式「出題の意図」も確認した。公式資料は数値解答ではなく出題意図のみである。

独立検算：A,Bの円板内標本から像が指定円板に入ることを確認し、α=−2+i、β=3−iを元の3条件へ代入した。

冊子PDFで見る阪大の複素数平面の問題で問題集を作る

出典: 大阪大学 令和6年度一般選抜 数学B（理系数学） 公式問題・出題の意図（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。