問題
を正の実数とする．複素数平面上で，点が点を中心とする半径の円周上を動くとき，
を満たす点が描く図形を求めよ．
方針
解法1
方程式 を について解き， として円の条件 に代入する。これにより という，2点 と からの距離比が一定の軌跡になる。 のときは距離が等しい垂直二等分線，それ以外はアポロニウスの円として平方完成する。 はもとの方程式を満たさないが，得られる軌跡にも含まれないことを確認する。
解法2（アポロニウスの円）
まで変形した後，座標展開ではなく，2定点からの距離比が一定の軌跡として処理する。比が1なら垂直二等分線，比が1でなければ実軸との2交点を内分・外分の式で求め，それらを直径の両端とするアポロニウスの円を得る。
解答
解法1
与えられた関係式 を変形すると である。もし なら左辺は0，右辺は1となり矛盾する。したがって であり， と表せる。
点 は中心 ，半径 の円周上を動くので である。ここに を代入すると である。左辺を整理して より を得る。 とおく。 のとき，両辺を2乗して である。これを整理すると である。 なので平方完成して
となる。したがって， のときの軌跡はこの円である。 のときは である。これは点 と点 から等距離にある点の集合なので，線分 の垂直二等分線，すなわち である。
以上より，求める図形は
である。ただし である。
解法2（アポロニウスの円）
与式から であり，
である。円の条件へ代入すると
したがって
ここで とおく。(1) は実軸上の2点 からの距離の比が である点の軌跡である。
(i) ，すなわち のとき
2点 から等距離にある点の集合なので，線分を結ぶ垂直二等分線
である。
(ii) ，すなわち のとき
軌跡と実軸との交点を として求める。符号を分けると
であり，2交点は
である。アポロニウスの円はこの2点を直径の両端にもつ。その中心 と半径 は
を戻すと
したがって， と書けば
