大阪大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

与えられた関係式 $z+w=zw$ を変形すると $z(w-1)=w$ である。もし $w=1$ なら左辺は0，右辺は1となり矛盾する。したがって $w\mathrm{\ne }1$ であり，$$z={\displaystyle \frac{w}{w-1}}$$ と表せる。

点 $z$ は中心 $3\mathrm{/}2$，半径 $r$ の円周上を動くので $$\mid z-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid =r$$ である。ここに $$z={\displaystyle \frac{w}{w-1}}$$ を代入すると $$\mid {\displaystyle \frac{w}{w-1}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid =r$$ である。左辺を整理して $$\mid {\displaystyle \frac{2w-3w+3}{2(w-1)}}\mid =r$$ より $\mathrm{\mid }w-3\mathrm{\mid }=2r\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }$ を得る。 $w=X+Yi$ とおく。$r\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき，両辺を2乗して $$(X-3{)}^2+Y^2=4r^2\{(X-1{)}^2+Y^2\}$$ である。これを整理すると $$(1-4r^2)(X^2+Y^2)-2(3-4r^2)X+9-4r^2=0$$ である。$1-4r^2\mathrm{\ne }0$ なので平方完成して$${(X-{\displaystyle \frac{3-4r^2}{1-4r^2}})}^2+Y^2={\left({\displaystyle \frac{4r}{1-4r^2}}\right)}^2$$となる。したがって，$r\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときの軌跡はこの円である。 $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときは $\mathrm{\mid }w-3\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }$ である。これは点 $1$ と点 $3$ から等距離にある点の集合なので，線分 $1,3$ の垂直二等分線，すなわち $X=2$ である。

以上より，求める図形は$$\{\begin{array}{ll}{(X-{\displaystyle \frac{3-4r^2}{1-4r^2}})}^2+Y^2={\left({\displaystyle \frac{4r}{1-4r^2}}\right)}^2& (r\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ X=2& (r={\displaystyle \frac{1}{2}})\end{array}$$である。ただし $w=X+Yi$ である。

$\mathrm{\mid }w-3\mathrm{\mid }=2r\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }$ まで変形した後，座標展開ではなく，2定点からの距離比が一定の軌跡として処理する。比が1なら垂直二等分線，比が1でなければ実軸との2交点を内分・外分の式で求め，それらを直径の両端とするアポロニウスの円を得る。

与式から $w\mathrm{\ne }1$ であり，$$z={\displaystyle \frac{w}{w-1}}$$である。円の条件へ代入すると$$\mid {\displaystyle \frac{w}{w-1}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid =r,$$したがって$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\mid }w-3\mathrm{\mid }=2r\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$ここで $k=2r>0$ とおく。(1) は実軸上の2点 $1,3$ からの距離の比が $k:1$ である点の軌跡である。

(i) $k=1$，すなわち $r=1\mathrm{/}2$ のとき

2点 $1,3$ から等距離にある点の集合なので，線分を結ぶ垂直二等分線$$\mathrm{Re}w=2$$である。

(ii) $k\mathrm{\ne }1$，すなわち $r\mathrm{\ne }1\mathrm{/}2$ のとき

軌跡と実軸との交点を $w=x$ として求める。符号を分けると$$x-3=\pm k(x-1)$$であり，2交点は$$x_1={\displaystyle \frac{3-k}{1-k}},x_2={\displaystyle \frac{3+k}{1+k}}$$である。アポロニウスの円はこの2点を直径の両端にもつ。その中心 $c$ と半径 $R$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}={\displaystyle \frac{3-k^2}{1-k^2}},}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }}{2}}={\displaystyle \frac{2k}{\mathrm{\mid }1-k^2\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}}\end{array}$$$k=2r$ を戻すと$$c={\displaystyle \frac{3-4r^2}{1-4r^2}},R={\displaystyle \frac{4r}{\mathrm{\mid }1-4r^2\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$したがって，$w=X+Yi$ と書けば$${(X-{\displaystyle \frac{3-4r^2}{1-4r^2}})}^2+Y^2={\left({\displaystyle \frac{4r}{1-4r^2}}\right)}^2(r\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$