大阪大学 2017年度理系数学第2問解答・解説

問題

複素数 $z$ は $z^{5} = 1$ を満たし、実部と虚部がともに正であるものとする。硬貨を投げて表が出れば1、裏が出れば0とし、5回投げて出た順に $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ とおく。複素数 $w$ を

w = a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + a_{3} z^{3} + a_{4} z^{4}

と定める。

(1) 5回とも表が出たとする。 $w$ の値を求めよ。

(2) $a_{0} = a_{2} = a_{3} = 0, a_{1} = a_{4} = 1$ のとき、 $∣ w ∣ < 1$ であることを示せ。

(3) $∣ w ∣ < 1$ である確率を求めよ。

出典：大阪大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1

条件を満たす $z$ は偏角 $2 π /5$ の5乗根であり， $1, z, z^{2}, z^{3}, z^{4}$ は正五角形の頂点を表す。(1)は5乗根の和，(2)は共役な2点の和で処理する。(3)は硬貨の結果を5頂点から選ぶ部分集合と見なし，選んだ個数ごとに $∣ w ∣ < 1$ を数える。特に1個・4個では $∣ w ∣ = 1$ となり，厳密不等号から除外する。

解法2

$1, z, z^{2}, z^{3}, z^{4}$ を単位円上の正五角形として図示する。2頂点の和の絶対値を、中心角が $2 π /5$ か $4 π /5$ かで分類する。3頂点の和は、選ばなかった2頂点の和の符号を変えたものとして数える。

解答

解法1

実部と虚部がともに正である5乗根は $z = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}$ である。よって $z \neq = 1$ であり， $1, z, z^{2}, z^{3}, z^{4}$ は正五角形の5つの頂点を表す。

(1)

$z^{5} = 1$ ， $z \neq = 1$ より $1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = \frac{z ^{5} - 1}{z - 1} = 0$ である。5回とも表なら $a_{0} = a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = 1$ なので $w = 1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = 0$ である。

(2)

このとき $w = z + z^{4}$ である。 $z^{4}$ は $z$ の共役なので $z + z^{4} = 2 cos \frac{2 π}{5}$ である。 $\frac{π}{3} < \frac{2 π}{5} < \frac{π}{2}$ であり， $0 < cos \frac{2 π}{5} < \frac{1}{2}$ だから $∣ w ∣ = 2 cos \frac{2 π}{5} < 1$ である。

(3)

各 $a_{k}$ は0または1であり，これは5つの頂点 $1, z, z^{2}, z^{3}, z^{4}$ からいくつかを選ぶことに対応する。全事象は $2^{5} = 32$ 通りで，すべて等確率である。

選ぶ個数ごとに調べる。0個を選ぶと $w = 0$ ，5個を選ぶと(1)より $w = 0$ であるから，どちらも条件を満たす。

1個だけ選ぶと $∣ w ∣ = 1$ であり，条件 $∣ w ∣ < 1$ を満たさない。4個選ぶ場合は，選ばれなかった1個の頂点を $α$ とすると，5頂点の和が0であることから $w = - α$ であり，やはり $∣ w ∣ = 1$ で条件を満たさない。

2個選ぶ場合を考える。2つの頂点が隣り合うとき，中心角は $\frac{2 π}{5}$ なので和の大きさは $2 cos \frac{π}{5} > 1$ である。2つの頂点が隣り合わないとき，中心角は $\frac{4 π}{5}$ なので和の大きさは $2 cos \frac{2 π}{5} < 1$ である。正五角形で隣り合わない2点の選び方は5通りである。

3個選ぶ場合は，選ばれなかった2個の頂点の和を $u$ とすると，5頂点全体の和が0であるから $w = - u$ である。したがって $∣ w ∣ < 1$ となるのは，選ばれなかった2点が隣り合わない場合であり，これも5通りである。

以上より，条件を満たす場合の数は $1 + 1 + 5 + 5 = 12$ である。したがって求める確率は $\frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ である。

解法2

条件を満たす $z$ は

z = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}

である。したがって $1, z, z^{2}, z^{3}, z^{4}$ は単位円上の正五角形の頂点である。

(1)

$z \neq = 1$ なので

1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = \frac{z ^{5} - 1}{z - 1} = 0.

5回とも表なら

w = 0.

(2)

このとき

w = z + z^{4} = z + \overline{z} = 2 cos \frac{2 π}{5} .

\frac{π}{3} < \frac{2 π}{5} < \frac{π}{2}

より

0 < 2 cos \frac{2 π}{5} < 1.

したがって $∣ w ∣ < 1$ である。

(3)

係数が1である項の個数を $m$ とする。 $m = 0, 5$ では $w = 0$ なので条件を満たす。 $m = 1$ では $∣ w ∣ = 1$ 。 $m = 4$ でも、選ばなかった頂点を $α$ とすれば

w = - α

だから $∣ w ∣ = 1$ である。

$m = 2$ のとき、選んだ2頂点の中心角が $2 π /5$ なら

∣ w ∣ = 2 cos \frac{π}{5} > 1,

中心角が $4 π /5$ なら

∣ w ∣ = 2 cos \frac{2 π}{5} < 1.

したがって条件を満たすのは、正五角形で隣り合わない2頂点を選ぶ5通りである。

$m = 3$ のときは、選ばなかった2頂点の和を $u$ とすると

w = - u .

よって条件を満たすものは、補集合の2頂点が隣り合わない5通りである。

以上より有利な場合は

1 + 1 + 5 + 5 = 12

通り。全32通りは等確率なので

Pr (∣ w ∣ < 1) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} .

大阪大学 2017年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2017年度
理系数学第2問