大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

実部と虚部がともに正である5乗根は $$z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$$ である。よって$z\mathrm{\ne }1$であり，$1,z,z^2,z^3,z^4$は正五角形の5つの頂点を表す。

(1) $z^5=1$，$z\mathrm{\ne }1$より $$1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{z^5-1}{z-1}=0$$ である。5回とも表なら$a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=1$なので $w=1+z+z^2+z^3+z^4=0$ である。

(2)
このとき $w=z+z^4$ である。$z^4$は$z$の共役なので $$z+z^4=2\cos \frac{2\pi }{5}$$ である。$$\frac{\pi }{3}<\frac{2\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$$であり，$$0<\cos \frac{2\pi }{5}<\frac{1}{2}$$だから $$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=2\cos \frac{2\pi }{5}<1$$ である。

(3)
各$a_k$は0または1であり，これは5つの頂点$1,z,z^2,z^3,z^4$からいくつかを選ぶことに対応する。全事象は $2^5=32$ 通りで，すべて等確率である。

選ぶ個数ごとに調べる。0個を選ぶと$w=0$，5個を選ぶと(1)より$w=0$であるから，どちらも条件を満たす。

1個だけ選ぶと$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$であり，条件$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }<1$を満たさない。4個選ぶ場合は，選ばれなかった1個の頂点を$\alpha$とすると，5頂点の和が0であることから$w=-\alpha$であり，やはり$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$で条件を満たさない。

2個選ぶ場合を考える。2つの頂点が隣り合うとき，中心角は$\frac{2\pi }{5}$なので和の大きさは $$2\cos \frac{\pi }{5}>1$$ である。2つの頂点が隣り合わないとき，中心角は$\frac{4\pi }{5}$なので和の大きさは $$2\cos \frac{2\pi }{5}<1$$ である。正五角形で隣り合わない2点の選び方は5通りである。

3個選ぶ場合は，選ばれなかった2個の頂点の和を$u$とすると，5頂点全体の和が0であるから$w=-u$である。したがって$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }<1$となるのは，選ばれなかった2点が隣り合わない場合であり，これも5通りである。

以上より，条件を満たす場合の数は $1+1+5+5=12$ である。したがって求める確率は $$\frac{12}{32}=\frac{3}{8}$$ である。

$1,z,z^2,z^3,z^4$ を単位円上の正五角形として図示する。2頂点の和の絶対値を、中心角が $2\pi \mathrm{/}5$ か $4\pi \mathrm{/}5$ かで分類する。3頂点の和は、選ばなかった2頂点の和の符号を変えたものとして数える。

条件を満たす $z$ は$$z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$$である。したがって $1,z,z^2,z^3,z^4$ は単位円上の正五角形の頂点である。

(1)
$z\mathrm{\ne }1$ なので$$1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{z^5-1}{z-1}=0.$$5回とも表なら$$w=0.$$(2)
このとき$$w=z+z^4=z+\bar{z}=2\cos \frac{2\pi }{5}\mathrm{.}$$$$\frac{\pi }{3}<\frac{2\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$$より$$0<2\cos \frac{2\pi }{5}<1.$$したがって $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }<1$ である。

(3)
係数が1である項の個数を $m$ とする。$m=0,5$ では $w=0$ なので条件を満たす。$m=1$ では $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$。$m=4$ でも、選ばなかった頂点を $\alpha$ とすれば$$w=-\alpha$$だから $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ である。

$m=2$ のとき、選んだ2頂点の中心角が $2\pi \mathrm{/}5$ なら$$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=2\cos \frac{\pi }{5}>1,$$中心角が $4\pi \mathrm{/}5$ なら$$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=2\cos \frac{2\pi }{5}<1.$$したがって条件を満たすのは、正五角形で隣り合わない2頂点を選ぶ5通りである。

$m=3$ のときは、選ばなかった2頂点の和を $u$ とすると$$w=-u\mathrm{.}$$よって条件を満たすものは、補集合の2頂点が隣り合わない5通りである。

以上より有利な場合は$$1+1+5+5=12$$通り。全32通りは等確率なので$$\mathrm{Pr}(\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }<1)=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}\mathrm{.}$$