大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第1問

(1)

放物線$C:y=x^2$上の2点$A_k(a_k,a_k^2)$，$A_{k+1}(a_{k+1},a_{k+1}^2)$を結ぶ直線の傾きは $${\displaystyle \frac{a_{k+1}^2-a_k^2}{a_{k+1}-a_k}}=a_k+a_{k+1}$$ である．一方，$y=x^2$の導関数は$y^{\mathrm{\prime }}=2x$であるから，$A_{k+2}$における接線の傾きは $2a_{k+2}$ である．条件よりこれらが等しいので $2a_{k+2}=a_k+a_{k+1}$ すなわち $$a_{k+2}={\displaystyle \frac{a_k+a_{k+1}}{2}}$$ である．

ここで $d_k=a_{k+1}-a_k$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_{k+1}}& {\displaystyle =a_{k+2}-a_{k+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_k+a_{k+1}}{2}}-a_{k+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_{k+1}-a_k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{d}_k}\end{array}$$である．

次に，$T_k$を$d_k$で表す．$a=a_k,d=d_k$とおくと $$a_{k+1}=a+d,a_{k+2}=a+{\displaystyle \frac{d}{2}}$$ である．したがって$$\overrightarrow{A_k{A}_{k+1}}=(d,2ad+d^2),\overrightarrow{A_k{A}_{k+2}}=({\displaystyle \frac{d}{2}},ad+{\displaystyle \frac{d^2}{4}})$$である．三角形の面積は行列式の絶対値の半分だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid d(ad+{\displaystyle \frac{d^2}{4}})-{\displaystyle \frac{d}{2}}(2ad+d^2)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid a{d}^2+{\displaystyle \frac{d^3}{4}}-a{d}^2-{\displaystyle \frac{d^3}{2}}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }d{\mathrm{\mid }}^3}{8}}}\end{array}$$である．よって$${\displaystyle \frac{T_{k+1}}{T_k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{d}_{k+1}{\mathrm{\mid }}^3\mathrm{/}8}{\mathrm{\mid }{d}_k{\mathrm{\mid }}^3\mathrm{/}8}}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$$である．

(2) $d=a_2-a_1$とおく．仮定より$d>0$である．(1)の面積公式から $$T_1={\displaystyle \frac{d^3}{8}}$$ である．

一方，直線$A_1{A}_2$の方程式は傾き$a_1+a_2$を用いて $y=(a_1+a_2)x-a_1{a}_2$ である．よって放物線との差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle ((a_1+a_2)x-a_1{a}_2)-x^2}& {\displaystyle =-(x-a_1)(x-a_2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-a_1)(a_2-x)}\end{array}$$である．したがって囲まれた面積 $S$ は$$S={\int }_{a_1}^{a_2}(x-a_1)(a_2-x)dx$$である．$s=x-a_1$とおくと$0\leqq s\leqq d$，$a_2-x=d-s$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{d}s(d-s)ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{d}{2}}{s}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{s}^3]}_0^d}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^3}{2}}-{\displaystyle \frac{d^3}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^3}{6}}}\end{array}$$である．

(1) より$T_k$は初項$T_1$，公比$1\mathrm{/}8$の等比数列である．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{T}_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{T_1}{1-1\mathrm{/}8}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{d^3}{8}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^3}{7}}}\end{array}$$である．$S=d^3\mathrm{/}6$だから $${\displaystyle \frac{d^3}{7}}={\displaystyle \frac{6}{7}}S$$ となる．よって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{T}_k={\displaystyle \frac{6}{7}}S$$ である．

弦と平行な接線

放物線上の2点を結ぶ弦と，その中点の $x$ 座標をもつ放物線上の点との鉛直距離を使う．弦の両端の $x$ 座標の差を $h_k$ とすると，接線の平行条件から $h_{k+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{h}_k$ となる．三角形の面積を底辺の水平成分と鉛直距離から $h_k^3\mathrm{/}8$ と求め，放物線弓形の面積 $S=h_1^3\mathrm{/}6$ と比較する．

(1)

$h_k=\mathrm{\mid }{a}_{k+1}-a_k\mathrm{\mid }$ とおく．放物線 $y=x^2$ 上の $x=u,v$ における2点を結ぶ直線の傾きは $u+v$ である．一方，$x=w$ における接線の傾きは $2w$ だから，条件より$$2a_{k+2}=a_k+a_{k+1}$$である．したがって $a_{k+2}$ は $a_k,a_{k+1}$ の中点であり，$$h_{k+1}=\mathrm{\mid }{a}_{k+2}-a_{k+1}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }{a}_{k+1}-a_k\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}{h}_k\text{となる．}$$放物線上の $x=u,v$ の2点を結ぶ弦は$$y=(u+v)x-uv$$である．$x=(u+v)\mathrm{/}2$ における弦と放物線の鉛直距離は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \{(u+v){\displaystyle \frac{u+v}{2}}-uv\}-{\left({\displaystyle \frac{u+v}{2}}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(v-u{)}^2}{4}}}\end{array}$$である．よって三角形 $A_k{A}_{k+1}{A}_{k+2}$ の面積は，弦の水平成分 $h_k$ を用いて$$T_k={\displaystyle \frac{1}{2}}{h}_k\cdot {\displaystyle \frac{h_k^2}{4}}={\displaystyle \frac{h_k^3}{8}}$$となる．ゆえに$${\displaystyle \frac{T_{k+1}}{T_k}}={\left({\displaystyle \frac{h_{k+1}}{h_k}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$$である．

(2)

$h_1=a_2-a_1>0$ とする．弦と放物線の差は$$(x-a_1)(a_2-x)$$だから，$t=x-a_1$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{a_1}^{a_2}(x-a_1)(a_2-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{h_1}t(h_1-t)dt={\displaystyle \frac{h_1^3}{6}}}\end{array}$$である．したがって $T_1=h_1^3\mathrm{/}8=3S\mathrm{/}4$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{T}_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{T_1}{1-{\displaystyle \frac{1}{8}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3S}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{7}}={\displaystyle \frac{6}{7}}S}\end{array}$$を得る．