大阪大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

時刻 $t$ において、球 $A$ の中心は $(t,0,0)$ であり、球 $B$ の中心は $(-t,0,0)$ である。ただし $0\leqq t\leqq 1$ である。

まず球 $A$ について考える。球 $A$ の最も左の点の $x$ 座標は $t-1\geqq -1$ であるから、球 $A$ はすべて $C:x\geqq -1$ に含まれる。したがって $$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(A\cap C)=\frac{4\pi }{3}$$ である。

次に球 $B$ を考える。球 $B$ の中心は $(-t,0,0)$ で、平面 $x=-1$ は中心から左へ $1-t$ だけ離れている。したがって $C$ からはみ出す部分は、球の左端から平面 $x=-1$ までの高さ $t$ の球冠である。半径1の球で高さ $h$ の球冠の体積は $\pi h^2(1-\frac{h}{3})$ であるから、$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(B\cap C)=\frac{4\pi }{3}-\pi t^2(1-\frac{t}{3})$$ である。

次に $A\cap B$ の体積を求める。2つの球の中心間距離は $2t$ である。2球は同じ半径1なので、共通部分は、各球から見て高さ $1-t$ の球冠2つ分である。したがって $$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(A\cap B)=2\pi (1-t{)}^2(1-\frac{1-t}{3})$$ である。また $A\cap B$ は球 $A$ に含まれ、球 $A\subset C$ であるから、$A\cap B$ はすべて $C$ 内にある。

よって包除原理により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(t)}& {\displaystyle =\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(A\cap C)+\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(B\cap C)-\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(A\cap B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4\pi }{3}+\{\frac{4\pi }{3}-\pi t^2(1-\frac{t}{3})\}-2\pi (1-t{)}^2(1-\frac{1-t}{3})}\end{array}$$である。整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(t)}& {\displaystyle =\pi \{\frac{8}{3}-t^2+\frac{t^3}{3}-\frac{2}{3}(1-t{)}^2(2+t)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (\frac{4}{3}+2t-t^2-\frac{t^3}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{3}(-t^3-3t^2+6t+4)}\end{array}$$である。

(2)

(1) より $$V(t)=\frac{\pi }{3}(-t^3-3t^2+6t+4)$$ である。微分すると $$V^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{\pi }{3}(-3t^2-6t+6)=\pi (-t^2-2t+2)$$ である。したがって $V^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ は $t^2+2t-2=0$ と同値であり、$t=-1\pm \sqrt{3}$ を得る。$0\leqq t\leqq 1$ に入るのは $t=\sqrt{3}-1$ だけである。

また $$V^{\mathrm{\prime }}(0)=2\pi >0,V^{\mathrm{\prime }}(1)=-\pi <0$$ であり、$V^{\mathrm{\prime }}(t)$ は $t=\sqrt{3}-1$ で正から負に変わる。よって最大はこのときである。 $t=\sqrt{3}-1$ を代入する。$(\sqrt{3}-1{)}^2=4-2\sqrt{3}$、$(\sqrt{3}-1{)}^3=6\sqrt{3}-10$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(\sqrt{3}-1)}& {\displaystyle =\frac{\pi }{3}\{-(6\sqrt{3}-10)-3(4-2\sqrt{3})+6(\sqrt{3}-1)+4\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{3}(6\sqrt{3}-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\pi (3\sqrt{3}-2)}{3}}\end{array}$$である。

$x$ 一定の断面では2球が同心円盤になることを使い、和集合の断面積を大きい方の円盤として左右2区間で積分する。得た $V(t)$ を微分し、最大値まで求める。

(1)

固定した $x$ における2球の断面は、$yz$ 平面内で中心を共有する円盤になる。$x\leqq 0$ では中心が $-t$ の球 $B$ の断面半径が大きく、$x\geqq 0$ では中心が $t$ の球 $A$ の断面半径が大きい。また半空間 $C$ により $x\geqq -1$ に限られる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(t)}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^0\{1-(x+t{)}^2\}dx+\pi {\int }_0^{t+1}\{1-(x-t{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (\frac{2}{3}+t-t^2)+\pi (\frac{2}{3}+t-\frac{t^3}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (\frac{4}{3}+2t-t^2-\frac{t^3}{3})}\end{array}$$である。

(2)

微分すると$$V^{\mathrm{\prime }}(t)=\pi (-t^2-2t+2)$$である。$0\leqq t\leqq 1$ では $t=\sqrt{3}-1$ の前で正、後で負となるので、ここで最大となる。したがって$$\max V(t)=V(\sqrt{3}-1)=\frac{2\pi (3\sqrt{3}-2)}{3}$$である。