大阪大学 2020年度
理系数学 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 積分、図形と方程式、指数・対数
- 解法
- 面積計算、定積分評価、極限計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 —
問題
tを正の実数とする．xy平面において，連立不等式
x≧0,y≧0,xy≦1,x+y≦t
の表す領域の面積をS(t)とおく．極限t→∞lim(S(t)−2logt)を求めよ．
出典：大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
解法1（3区間に分けて面積を積分する）
xy≦1 は双曲線の下側、x+y≦t は直線の下側を表す。t→∞ の極限だけが必要なので t>2 として、直線 y=t−x と双曲線 y=1/x の交点を α,β で表す。区間 [0,α]、[α,β]、[β,t] に分けて面積を積分し、αβ=1、α+β=t を用いて式を簡単にする。最後は αt→1 を確認して極限を出す。
解法2（対称軸の片側だけを積分する）
領域が直線 y=x に関して対称であることを利用し、片側 x≦y の面積だけを求めて2倍する。小さい交点を α とすれば、0≦x≦α では直線、α≦x≦1 では双曲線が上端になる。解と係数の関係で式を整理して極限を取る。
解答
解法1（3区間に分けて面積を積分する）
t>2 とする。直線 x+y=t と双曲線 xy=1 の交点の x 座標は x(t−x)=1 すなわち x2−tx+1=0 の2解である。小さい方を α、大きい方を β とすると α=2t−t2−4,β=2t+t2−4 であり、α+β=t,αβ=1 が成り立つ。 0≦x≦t において、領域は 0≦y≦min(t−x,x1) で表される。ただし x=0 では xy≦1 は制限にならない。0≦x≦α と β≦x≦t では直線の方が下、α≦x≦β では双曲線の方が下である。したがって面積 S(t) は
S(t)=∫0α(t−x)dx+∫αβx1dx+∫βt(t−x)dx
である。
各項を計算する。 ∫0α(t−x)dx=tα−2α2 また ∫βt(t−x)dx=2(t−β)2=2α2 である。ここで t−β=α を用いた。さらに ∫αβx1dx=logαβ である。よって S(t)=tα+logαβ である。 αβ=1 より β=1/α だから logαβ=logα21=−2logα である。また tα=(α+β)α=α2+1 なので S(t)=1+α2−2logα となる。したがって S(t)−2logt=1+α2−2log(αt) である。
最後に t→∞ のとき、α=2t−t2−4=t+t2−42 より α→0,αt=t+t2−42t→1 である。ゆえに limt→∞{S(t)−2logt}=1+0−2log1=1 である。
解法2（対称軸の片側だけを積分する）
t>2 とする。直線 x+y=t と双曲線 xy=1 の交点の x 座標を α<β とすれば
α+β=t,αβ=1,0<α<1<β
である。
領域は直線 y=x に関して対称である。片側 x≦y だけを見ると、0≦x≦α では上端が y=t−x、α≦x≦1 では上端が y=1/x、下端は常に y=x である。したがって
S(t)=2{∫0α(t−2x)dx+∫α1(x1−x)dx}.
計算すると
S(t)=2tα−α2−1−2logα=1+α2−2logα
となる。最後の変形では
tα=(α+β)α=α2+1
を用いた。
よって
S(t)−2logt=1+α2−2log(αt).
また
α=t+t2−42⟶0,αt=t+t2−42t⟶1
であるから
t→∞lim{S(t)−2logt}=1
を得る。
