大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$t>2$ とする。直線 $x+y=t$ と双曲線 $xy=1$ の交点の $x$ 座標は $x(t-x)=1$ すなわち $x^2-tx+1=0$ の2解である。小さい方を $\alpha$、大きい方を $\beta$ とすると $$\alpha =\frac{t-\sqrt{t^2-4}}{2},\beta =\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}$$ であり、$$\alpha +\beta =t,\alpha \beta =1$$ が成り立つ。 $0\leqq x\leqq t$ において、領域は $$0\leqq y\leqq \min (t-x,\frac{1}{x})$$ で表される。ただし $x=0$ では $xy\leqq 1$ は制限にならない。$0\leqq x\leqq \alpha$ と $\beta \leqq x\leqq t$ では直線の方が下、$\alpha \leqq x\leqq \beta$ では双曲線の方が下である。したがって面積 $S(t)$ は$$S(t)={\int }_0^{\alpha }(t-x)dx+{\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{x}dx+{\int }_{\beta }^t(t-x)dx$$である。

各項を計算する。 $${\int }_0^{\alpha }(t-x)dx=t\alpha -\frac{{\alpha }^2}{2}$$ また $${\int }_{\beta }^t(t-x)dx=\frac{(t-\beta {)}^2}{2}=\frac{{\alpha }^2}{2}$$ である。ここで $t-\beta =\alpha$ を用いた。さらに $${\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{x}dx=\log \frac{\beta }{\alpha }$$ である。よって $$S(t)=t\alpha +\log \frac{\beta }{\alpha }$$ である。 $\alpha \beta =1$ より $\beta =1\mathrm{/}\alpha$ だから $$\log \frac{\beta }{\alpha }=\log \frac{1}{{\alpha }^2}=-2\log \alpha$$ である。また $$t\alpha =(\alpha +\beta )\alpha ={\alpha }^2+1$$ なので $$S(t)=1+{\alpha }^2-2\log \alpha$$ となる。したがって $$S(t)-2\log t=1+{\alpha }^2-2\log (\alpha t)$$ である。

最後に $t\to \mathrm{\infty }$ のとき、$$\alpha =\frac{t-\sqrt{t^2-4}}{2}=\frac{2}{t+\sqrt{t^2-4}}$$ より $$\alpha \to 0,\alpha t=\frac{2t}{t+\sqrt{t^2-4}}\to 1$$ である。ゆえに $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{S(t)-2\log t\}=1+0-2\log 1={\displaystyle 1}$$ である。

領域が直線 $y=x$ に関して対称であることを利用し、片側 $x\leqq y$ の面積だけを求めて2倍する。小さい交点を $\alpha$ とすれば、$0\leqq x\leqq \alpha$ では直線、$\alpha \leqq x\leqq 1$ では双曲線が上端になる。解と係数の関係で式を整理して極限を取る。

$t>2$ とする。直線 $x+y=t$ と双曲線 $xy=1$ の交点の $x$ 座標を $\alpha <\beta$ とすれば$$\alpha +\beta =t,\alpha \beta =1,0<\alpha <1<\beta$$である。

領域は直線 $y=x$ に関して対称である。片側 $x\leqq y$ だけを見ると、$0\leqq x\leqq \alpha$ では上端が $y=t-x$、$\alpha \leqq x\leqq 1$ では上端が $y=1\mathrm{/}x$、下端は常に $y=x$ である。したがって$$S(t)=2\{{\int }_0^{\alpha }(t-2x)dx+{\int }_{\alpha }^1(\frac{1}{x}-x)dx\}\mathrm{.}$$計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle =2t\alpha -{\alpha }^2-1-2\log \alpha }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\alpha }^2-2\log \alpha }\end{array}$$となる。最後の変形では$$t\alpha =(\alpha +\beta )\alpha ={\alpha }^2+1$$を用いた。

よって$$S(t)-2\log t=1+{\alpha }^2-2\log (\alpha t)\mathrm{.}$$また$$\alpha =\frac{2}{t+\sqrt{t^2-4}}⟶0,\alpha t=\frac{2t}{t+\sqrt{t^2-4}}⟶1$$であるから$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{S(t)-2\log t\}=1$$を得る。