阪大 2013年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

最初の円すいを $0 ≦ x ≦ 1, y^{2} + z^{2} ≦ x^{2}$ と表す。 $y$ を固定し、 $y$ 軸からの距離 $ρ = \sqrt{x^{2} + z^{2}}$ の最小値と最大値を求める。2回目の回転後の断面は円板ではなく円環になるので、その面積を $- 1 ≦ y ≦ 1$ で積分する。

解答

三角形 $O A B$ は $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ x, z = 0$ で表される。これを $x$ 軸のまわりに回転すると、円すい $V$ は $0 ≦ x ≦ 1, y^{2} + z^{2} ≦ x^{2}$ となる。

この円すいを $y$ 軸のまわりに回転してできる立体を、 $y$ に垂直な平面で切る。断面が存在する範囲は $- 1 ≦ y ≦ 1$ である。 $y$ 軸からの距離を $ρ = \sqrt{x^{2} + z^{2}}$ とおく。

固定した $y$ に対して $∣ y ∣ ≦ x ≦ 1, z^{2} ≦ x^{2} - y^{2}$ である。したがって $ρ^{2} = x^{2} + z^{2} ≦ 2 x^{2} - y^{2} ≦ 2 - y^{2},$ 等号は $x = 1, z^{2} = 1 - y^{2}$ のときに成立する。よって外半径は $\sqrt{2 - y^{2}} .$ 一方、 $ρ$ の最小値は $x = ∣ y ∣, z = 0$ のときの $∣ y ∣$ である。

この間の半径に抜けがないことも確認する。 $∣ y ∣ ≦ ρ ≦ 1$ なら $x = ρ, z = 0$ とすればよく、 $1 ≦ ρ ≦ \sqrt{2 - y^{2}}$ なら $x = 1, z = \sqrt{ρ^{2} - 1}$ とすれば円すい内の点になる。よって回転後の断面は、内半径 $∣ y ∣$ 、外半径 $\sqrt{2 - y^{2}}$ の円環である。

青色部分は、各高さ $y$ で回転後の立体が占める半径の範囲を表す。

断面積 $S (y)$ は $\begin{aligned} S (y) & = π {(\sqrt{2 - y^{2}})}^{2} - π ∣ y ∣^{2} \\ = 2 π (1 - y^{2}) . \end{aligned}$ したがって求める体積は $\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} 2 π (1 - y^{2}) d y & = 2 π {[y - \frac{y^{3}}{3}]}_{- 1}^{1} \\ = \frac{8 π}{3} . \end{aligned}$

総評

難度7、目安時間26分。最初の円すいを不等式で表し、2回目の回転軸である $y$ 軸に垂直な断面を見る。断面は円板ではなく円環で、内半径 $∣ y ∣$ を落とすと誤答になる。最小・最大半径だけでなく、その間の半径がすべて実現することまで確認すると、断面積の根拠が完全になる。

出典: 大阪大学 2013年度前期日程数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方針

解答

総評

大阪大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問