大阪大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

まず $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。このとき互いに素な正の整数 $m,n$ を用いて $$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$ と書ける。両辺を2乗して $m^2=2n^2$ を得る。よって $m^2$ は偶数であり、したがって $m$ も偶数である。$m=2r$ とおくと $$4r^2=2n^2,n^2=2r^2$$ となるので、同様に $n$ も偶数である。これは $m,n$ が互いに素であることに反する。したがって $\sqrt{2}$ は無理数である。

次に $\sqrt[3]{3}$ が有理数であると仮定する。このとき互いに素な正の整数 $m,n$ を用いて $$\sqrt[3]{3}=\frac{m}{n}$$ と書ける。両辺を3乗して $m^3=3n^3$ を得る。よって $m^3$ は $3$ で割り切れるので、$m$ も $3$ で割り切れる。$m=3r$ とおくと $$27r^3=3n^3,n^3=9r^3$$ となる。したがって $n^3$ も $3$ で割り切れ、$n$ も $3$ で割り切れる。これは $m,n$ が互いに素であることに反する。したがって $\sqrt[3]{3}$ は無理数である。

(2) $$r=\sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}q$$ とおく。仮定より $p,q,r$ はすべて有理数である。

まず $q\mathrm{\ne }0$ と仮定して矛盾を導く。このとき $$\sqrt[3]{3}=\frac{r-\sqrt{2}p}{q}=\frac{r}{q}-\frac{p}{q}\sqrt{2}$$ である。したがって、有理数 $A,B$ を用いて $$\sqrt[3]{3}=A+B\sqrt{2}$$ と書ける。

両辺を3乗する。左辺の3乗は $3$ であり、右辺は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (A+B\sqrt{2}{)}^3}& {\displaystyle =A^3+3A^{2}B\sqrt{2}+3A(B\sqrt{2}{)}^2+(B\sqrt{2}{)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A^3+6A{B}^2+(3A^{2}B+2B^3)\sqrt{2}}\end{array}$$である。よって $$3=A^3+6A{B}^2+(3A^{2}B+2B^3)\sqrt{2}$$ となる。

もし $3A^{2}B+2B^3\mathrm{\ne }0$ なら、上の等式から $\sqrt{2}$ が有理数として表されてしまい、(1)に反する。したがって $3A^{2}B+2B^3=0$ でなければならない。これは $B(3A^2+2B^2)=0$ である。$3A^2+2B^2\geqq 0$ であり、これが $0$ になるのは $A=B=0$ のときだけであるから、結局 $B=0$ である。すると $$\sqrt[3]{3}=A$$ となり、$\sqrt[3]{3}$ が有理数になってしまう。これは(1)に反する。

よって $q\mathrm{\ne }0$ は不可能であり、$q=0$ である。このとき $r=\sqrt{2}p$ である。もし $p\mathrm{\ne }0$ なら $$\sqrt{2}=\frac{r}{p}$$ となって $\sqrt{2}$ が有理数になり、(1)に反する。したがって $p=0$ である。

以上より $p=q=0$ が示された。