大阪大学 2017年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = 2$ で囲まれた図形を、 $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体を $L$ とする。回転体 $L$ に含まれる点のうち、 $x y$ 平面上の直線 $x = 1$ からの距離が1以下のもの全体がつくる立体を $M$ とする。

(1) $0 ≦ t ≦ 2$ とする。 $x y$ 平面上の点 $(0, t)$ を通り、 $y$ 軸に直交する平面による $M$ の切り口の面積を $S (t)$ とする。

t = (2 cos θ)^{2} (\frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

のとき、 $S (t)$ を $θ$ を用いて表せ。

(2) $M$ の体積 $V$ を求めよ。

出典：大阪大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1

高さ $t$ で水平に切ると，回転体 $L$ の断面は中心 $(0, 0)$ ，半径 $t$ の円板になる。直線 $x = 1$ からの距離が1以下という条件は，同じ断面内で中心 $(1, 0)$ ，半径1の円板に入ることなので， $S (t)$ は2円の共通部分の面積である。 $t = 2 cos θ$ とおき，2つの扇形から2つの二等辺三角形を引いて断面積を作る。(2)は $d t = - 8 sin θ cos θ d θ$ で積分し，三角関数を $sin 2 θ, cos 2 θ$ に整理する。

解法2

(1)は高さ $t$ の断面を、原点中心・半径 $t$ の円板と $(1, 0)$ 中心・半径1の円板の共通部分として図示し、2つの扇形から三角形を引く。(2)は積分順序を変え、 $x z$ 平面上の各点の上にある高さ $2 - r^{2}$ を極座標で積分する。

解答

解法1

(1)

空間の座標を，もとの $x y$ 平面に垂直な方向を加えて考える。高さ $t$ の平面で $L$ を切ると，もとの放物線 $y = x^{2}$ から半径は $t$ となるので，断面は中心 $(0, 0)$ ，半径 $t$ の円板である。

一方，直線 $x = 1$ からの距離が1以下である点は，この断面内では中心 $(1, 0)$ ，半径1の円板の中にある点である。したがって $S (t)$ は，中心間距離1，半径 $t$ と1の2円の共通部分の面積である。

t = 2 cos θ (\frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

とおく。半径 $2 cos θ$ の円を中心 $O$ ，半径1の円を中心 $A$ とする。2円の交点を結ぶ弦について，中心 $O$ から見た半角を $α$ とすると $cos α = \frac{t}{2} = cos θ$ であるから $α = θ$ である。よって中心 $O$ 側の扇形の中心角は $2 θ$ で，その面積は $\frac{1}{2} (2 cos θ)^{2} \cdot 2 θ = 4 θ cos^{2} θ$ である。

同じ弦を中心 $A$ から見ると，対応する中心角は $2 π - 4 θ$ である。したがって中心 $A$ 側の扇形の面積は $\frac{1}{2} (2 π - 4 θ) = π - 2 θ$ である。

この2つの扇形を足すと，共通部分に対応する2つの二等辺三角形を余分に含む。中心 $O$ 側の三角形の面積は $\frac{1}{2} (2 cos θ)^{2} sin 2 θ = 2 cos^{2} θ sin 2 θ$ であり，中心 $A$ 側の三角形の面積は $\frac{1}{2} sin (2 π - 4 θ) = - \frac{1}{2} sin 4 θ$ である。両者の和は $2 cos^{2} θ sin 2 θ - \frac{1}{2} sin 4 θ = sin 2 θ$ である。よって $S (t) = 4 θ cos^{2} θ + π - 2 θ - sin 2 θ$ である。

(2)

$t = 4 cos^{2} θ$ であるから $d t = - 8 sin θ cos θ d θ$ である。 $t = 0$ は $θ = \frac{π}{2}$ ， $t = 2$ は $θ = \frac{π}{4}$ に対応するので

V = \int_{0}^{2} S (t) d t = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} {4 θ cos^{2} θ + π - 2 θ - sin 2 θ} 8 sin θ cos θ d θ

である。

ここで

4 θ cos^{2} θ - 2 θ = 2 θ cos 2 θ, 8 sin θ cos θ = 4 sin 2 θ

より，被積分関数は $4 (π + 2 θ cos 2 θ - sin 2 θ) sin 2 θ$ である。さらに整理すると $4 π sin 2 θ + 4 θ sin 4 θ - 2 + 2 cos 4 θ$ となる。したがって

V = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} {4 π sin 2 θ + 4 θ sin 4 θ - 2 + 2 cos 4 θ} d θ = [- 2 π cos 2 θ - θ cos 4 θ + \frac{1}{4} sin 4 θ - 2 θ + \frac{1}{2} sin 4 θ]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}

である。端点を代入すると $V = 2 π - \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{4}$ である。

解法2

(1)

高さ $t$ の断面で、 $y$ 軸からの距離を $r$ とする。回転体 $L$ の条件は

r ≦ t,

直線 $x = 1$ からの距離が1以下という条件は

(x - 1)^{2} + z^{2} ≦ 1

である。したがって断面は、中心 $O = (0, 0)$ 、半径 $t$ の円板と、中心 $A = (1, 0)$ 、半径1の円板の共通部分である。

t = 2 cos θ (\frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

とする。2円の交点の一つを $X$ とすると、三角形 $O A X$ の辺長は

O X = 2 cos θ, O A = A X = 1.

余弦定理から

∠ A O X = θ, ∠ O A X = π - 2 θ .

よって共通部分は、中心角 $2 θ$ の $O$ 側の扇形と、中心角 $2 π - 4 θ$ の $A$ 側の扇形から、2個の合同な三角形を引いたものである。したがって

S (t) = 4 θ cos^{2} θ + (π - 2 θ) - sin 2 θ = 4 θ cos^{2} θ + π - 2 θ - sin 2 θ .

(2)

今度は積分の順序を変える。 $x z$ 平面で極座標

x = r cos φ, z = r sin φ

を用いる。円柱 $(x - 1)^{2} + z^{2} ≦ 1$ は

0 ≦ r ≦ 2 cos φ, - \frac{π}{2} ≦ φ ≦ \frac{π}{2}

と表される。また $L$ の上端 $y = 2$ から

r ≦ 2 .

固定した $(r, φ)$ に対し、 $y$ は $r^{2}$ から2まで動くので、その高さは $2 - r^{2}$ である。

対称性を使い、 $φ = π /4$ で上限を分けると

V = 2 {\int_{0}^{π /4} \int_{0}^{2} (2 - r^{2}) r d r d φ + \int_{π /4}^{π /2} \int_{0}^{2 c o s φ} (2 - r^{2}) r d r d φ} .

内側の積分は

\int_{0}^{2} (2 - r^{2}) r d r = 1

であり、また

\int_{0}^{2 c o s φ} (2 - r^{2}) r d r = 4 cos^{2} φ - 4 cos^{4} φ = sin^{2} 2 φ .

よって

V = 2 {\frac{π}{4} + \int_{π /4}^{π /2} sin^{2} 2 φ d φ} = 2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{8}) = \frac{3 π}{4} .

大阪大学 2017年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

大阪大学 2017年度
理系数学第5問