大阪大学 2022年度
理系数学 第2問

解答

解法1

(1)

$\alpha =\frac{2\pi }{7}$ であるから $4\alpha =\frac{8\pi }{7},3\alpha =\frac{6\pi }{7}$ である。したがって $4\alpha =2\pi -3\alpha$ であり，余弦の性質より $\cos 4\alpha =\cos (2\pi -3\alpha )=\cos 3\alpha$ である。

(2)

$c=\cos \alpha$ とおく。多倍角公式より $\cos 4\alpha =8c^4-8c^2+1,\cos 3\alpha =4c^3-3c$ である。$1$ よりこれらは等しいので $8c^4-8c^2+1=4c^3-3c$ である。左辺に移項すると $8c^4-4c^3-8c^2+3c+1=0$ であり，これは $(c-1)(8c^3+4c^2-4c-1)=0$ と因数分解できる。

ここで $0<\alpha <\pi$ だから $c=\cos \alpha \ne 1$ である。よって $8c^3+4c^2-4c-1=0$ すなわち $f(\cos \alpha )=0$ である。

(3)

$\cos \alpha$ が有理数であると仮定する。$2$ より $\cos \alpha$ は整数係数多項式 $8x^3+4x^2-4x-1=0$ の有理数解である。

有理数解を既約分数 $p/q$ と書くと，有理根定理より $p$ は定数項 $-1$ の約数，$q$ は最高次係数 $8$ の約数である。したがって候補は $\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{8}$ に限られる。

実際に代入すると

また

である。いずれも0ではない。

これは $f(\cos \alpha )=0$ に反する。したがって $\cos \alpha$ は無理数である。

解法2（三角和とモニック多項式）

(1)

$7\alpha =2\pi$ だから

よって

(2)

$\sin (7\alpha /2)=\sin \pi =0$ を用いると，余弦和の公式から

ここで

とおく。倍角・3倍角の公式より

これらを (1) に代入すると

すなわち

$c=2\cos \alpha$ を代入すれば

したがって

(3)

$\cos \alpha$ が有理数なら，$c=2\cos \alpha$ も有理数である。(2) は最高次係数1の整数係数多項式なので，有理根定理により，有理数解 $c$ は定数項 $-1$ の約数，すなわち整数 $\pm 1$ のいずれかでなければならない。

しかし

より

この範囲に整数は存在しないから矛盾する。ゆえに