大阪大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$\alpha ={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$$ であるから $$4\alpha ={\displaystyle \frac{8\pi }{7}},3\alpha ={\displaystyle \frac{6\pi }{7}}$$ である。したがって $4\alpha =2\pi -3\alpha$ であり，余弦の性質より $$\cos 4\alpha =\cos (2\pi -3\alpha )=\cos 3\alpha$$ である。

(2) $c=\cos \alpha$ とおく。多倍角公式より $$\cos 4\alpha =8c^4-8c^2+1,\cos 3\alpha =4c^3-3c$$ である。$1$ よりこれらは等しいので $8c^4-8c^2+1=4c^3-3c$ である。左辺に移項すると $8c^4-4c^3-8c^2+3c+1=0$ であり，これは $(c-1)(8c^3+4c^2-4c-1)=0$ と因数分解できる。

ここで $0<\alpha <\pi$ だから $c=\cos \alpha \mathrm{\ne }1$ である。よって $8c^3+4c^2-4c-1=0$ すなわち $f(\cos \alpha )=0$ である。

(3) $\cos \alpha$ が有理数であると仮定する。$2$ より $\cos \alpha$ は整数係数多項式 $8x^3+4x^2-4x-1=0$ の有理数解である。

有理数解を既約分数 $p\mathrm{/}q$ と書くと，有理根定理より $p$ は定数項 $-1$ の約数，$q$ は最高次係数 $8$ の約数である。したがって候補は $\pm 1,\pm {\displaystyle \frac{1}{2}},\pm {\displaystyle \frac{1}{4}},\pm {\displaystyle \frac{1}{8}}$ に限られる。

実際に代入すると$$f(1)=7,f(-1)=-1,f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-1,f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=1,$$また$$f\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{13}{8}},f(-{\displaystyle \frac{1}{4}})={\displaystyle \frac{1}{8}},f\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)=-{\displaystyle \frac{91}{64}},f(-{\displaystyle \frac{1}{8}})=-{\displaystyle \frac{29}{64}}$$である。いずれも0ではない。

これは $f(\cos \alpha )=0$ に反する。したがって $\cos \alpha$ は無理数である。

$1+2\cos \alpha +2\cos 2\alpha +2\cos 3\alpha =0$ を導き，$c=2\cos \alpha$ の三次方程式へ変換する。$c$ は最高次係数1の整数係数多項式の根なので，有理数なら整数である。一方 $1<c<2$ だから矛盾する。この方法では有理根候補を8個代入せずに済む。

(1)
$7\alpha =2\pi$ だから$$4\alpha =2\pi -3\alpha \mathrm{.}$$よって$$\cos 4\alpha =\cos 3\alpha \mathrm{.}$$(2)$$\sin (7\alpha \mathrm{/}2)=\sin \pi =0$$ を用いると，余弦和の公式から$$\begin{array}{cccc}& 1+2\cos \alpha +2\cos 2\alpha +2\cos 3\alpha =0.& & \text{(1)}\end{array}$$ここで$$c=2\cos \alpha$$とおく。倍角・3倍角の公式より$$2\cos 2\alpha =c^2-2,2\cos 3\alpha =c^3-3c\mathrm{.}$$これらを (1) に代入すると$$1+c+(c^2-2)+(c^3-3c)=0,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& c^3+c^2-2c-1=0.& & \text{(2)}\end{array}$$$c=2\cos \alpha$ を代入すれば$$8{\cos }^3\alpha +4{\cos }^2\alpha -4\cos \alpha -1=0.$$したがって$$f(\cos \alpha )=0\mathrm{.}$$(3)
$\cos \alpha$ が有理数なら，$c=2\cos \alpha$ も有理数である。(2) は最高次係数1の整数係数多項式なので，有理根定理により，有理数解 $c$ は定数項 $-1$ の約数，すなわち整数 $\pm 1$ のいずれかでなければならない。

しかし$$0<\alpha ={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$より$$1<2\cos \alpha <2.$$この範囲に整数は存在しないから矛盾する。ゆえに$$\cos \alpha \text{ は無理数である}\mathrm{.}$$