大阪大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

座標平面において， $t$ を媒介変数として

x = e^{t} cos t + e^{π}, y = e^{t} sin t (0 ≦ t ≦ π)

で表される曲線を $C$ とする．曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：大阪大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1

$0 ≦ t ≦ π$ では $y = e^{t} sin t ≧ 0$ であり，端点はともに $x$ 軸上にある。曲線は右端 $(e^{π} + 1, 0)$ から左端 $(0, 0)$ へ進むので，面積は曲線の向きに注意して，媒介変数表示の面積公式で求める。 $d x / d t = e^{t} (cos t - sin t)$ を代入し， $sin^{2} t - sin t cos t$ を2倍角で表して積分する。最後は $e^{2 t} cos 2 t$ ， $e^{2 t} sin 2 t$ の定積分を端点で評価する。

解法2（部分積分による面積公式）

端点では $y = 0$ なので，部分積分により2つの媒介変数表示の面積公式を結び付ける。具体的には

- \int y d x = \int x d y

と変形する。 $x$ の定数項 $e^{π}$ は $e^{π} [y]_{0}^{π} = 0$ となって消える。残る積を2倍角で整理し，解法1とは異なる符号の組合せから同じ面積を得る。

解答

解法1

曲線は $x = e^{t} cos t + e^{π}, y = e^{t} sin t$ で表される。 $0 ≦ t ≦ π$ では $y = e^{t} sin t ≧ 0$ である。また端点は $t = 0 のとき (e^{π} + 1, 0), t = π のとき (0, 0)$ である。したがって曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を $S$ とすると，曲線が右から左へ進むことに注意して

S = - \int_{0}^{π} y \frac{d x}{d t} d t

である。

ここで $\frac{d x}{d t} = e^{t} cos t - e^{t} sin t = e^{t} (cos t - sin t)$ だから

S = - \int_{0}^{π} e^{t} sin t \cdot e^{t} (cos t - sin t) d t = \int_{0}^{π} e^{2 t} (sin^{2} t - sin t cos t) d t .

2倍角の公式より $sin^{2} t - sin t cos t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 2 t - \frac{1}{2} sin 2 t$ である。したがって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{2 t} d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{2 t} cos 2 t d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{2 t} sin 2 t d t

である。

それぞれ

\int_{0}^{π} e^{2 t} d t = \frac{e ^{2 π} - 1}{2},

また

\int e^{2 t} cos 2 t d t = \frac{e ^{2 t} ( cos 2 t + sin 2 t )}{4}, \int e^{2 t} sin 2 t d t = \frac{e ^{2 t} ( sin 2 t - cos 2 t )}{4}

である。よって

\int_{0}^{π} e^{2 t} cos 2 t d t = \frac{e ^{2 π} - 1}{4}, \int_{0}^{π} e^{2 t} sin 2 t d t = - \frac{e ^{2 π} - 1}{4}

である。

これらを代入すると

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} - 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} - 1}{4} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e ^{2 π} - 1}{4}) = \frac{e ^{2 π} - 1}{4} .

したがって求める面積は $\frac{e ^{2 π} - 1}{4}$ である。

解法2（部分積分による面積公式）

$0 ≦ t ≦ π$ では $y = e^{t} sin t ≧ 0$ であり， $t = 0, π$ では $y = 0$ である。また曲線は右端から左端へ進むので

S = - \int_{C} y d x .

積の微分 $d (x y) = x d y + y d x$ を積分すると，両端で $x y = 0$ だから

- \int_{C} y d x = \int_{C} x d y .

ここで $y^{'} (t) = e^{t} (sin t + cos t)$ である。したがって

S = \int_{0}^{π} x (t) y^{'} (t) d t = \int_{0}^{π} (e^{t} cos t + e^{π}) e^{t} (sin t + cos t) d t = \int_{0}^{π} e^{2 t} (sin t cos t + cos^{2} t) d t + e^{π} \int_{0}^{π} y^{'} (t) d t .

この第2項は

e^{π} \int_{0}^{π} y^{'} (t) d t = e^{π} [y (t)]_{0}^{π} = 0

である。また

sin t cos t + cos^{2} t = \frac{1}{2} sin 2 t + \frac{1}{2} (1 + cos 2 t)

だから

S = \frac{1}{2} {\int_{0}^{π} e^{2 t} d t + \int_{0}^{π} e^{2 t} cos 2 t d t + \int_{0}^{π} e^{2 t} sin 2 t d t} . (1)

各積分をまとめて計算すると

\int_{0}^{π} e^{2 t} d t \int_{0}^{π} e^{2 t} cos 2 t d t \int_{0}^{π} e^{2 t} sin 2 t d t = \frac{e ^{2 π} - 1}{2}, = \frac{e ^{2 π} - 1}{4}, = - \frac{e ^{2 π} - 1}{4} .

後ろ2つは打ち消し合うので，(1) より

S = \frac{e ^{2 π} - 1}{4} .

大阪大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2（部分積分による面積公式）

解答

解法1

解法2（部分積分による面積公式）

大阪大学 2022年度
理系数学第5問