大阪大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

曲線は $$x=e^t\cos t+e^{\pi },y=e^t\sin t$$ で表される。$0\leqq t\leqq \pi$ では $y=e^t\sin t\geqq 0$ である。また端点は $$t=0\text{ のとき }(e^{\pi }+1,0),t=\pi \text{ のとき }(0,0)$$ である。したがって曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を $S$ とすると，曲線が右から左へ進むことに注意して$$S=-{\int }_0^{\pi }y{\displaystyle \frac{dx}{dt}}dt$$である。

ここで $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t)$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =-{\int }_0^{\pi }{e}^t\sin t\cdot e^t(\cos t-\sin t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{e}^{2t}({\sin }^{2}t-\sin t\cos t)dt\mathrm{.}}\end{array}$$2倍角の公式より $${\sin }^{2}t-\sin t\cos t={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2t$$ である。したがって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }{e}^{2t}dt-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\cos 2tdt-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\sin 2tdt$$である。

それぞれ$${\int }_0^{\pi }{e}^{2t}dt={\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{2}},$$また$$\int e^{2t}\cos 2tdt={\displaystyle \frac{e^{2t}(\cos 2t+\sin 2t)}{4}},\int e^{2t}\sin 2tdt={\displaystyle \frac{e^{2t}(\sin 2t-\cos 2t)}{4}}$$である。よって$${\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\cos 2tdt={\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}},{\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\sin 2tdt=-{\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}}$$である。

これらを代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は ${\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}}$ である。

端点では $y=0$ なので，部分積分により2つの媒介変数表示の面積公式を結び付ける。具体的には$$-\int ydx=\int xdy$$と変形する。$x$ の定数項 $e^{\pi }$ は $e^{\pi }[y{]}_0^{\pi }=0$ となって消える。残る積を2倍角で整理し，解法1とは異なる符号の組合せから同じ面積を得る。

$0\leqq t\leqq \pi$ では $y=e^t\sin t\geqq 0$ であり，$t=0,\pi$ では $y=0$ である。また曲線は右端から左端へ進むので$$S=-{\int }_{C}ydx\mathrm{.}$$積の微分 $d(xy)=xdy+ydx$ を積分すると，両端で $xy=0$ だから$$-{\int }_{C}ydx={\int }_{C}xdy\mathrm{.}$$ここで $$y^{\mathrm{\prime }}(t)=e^t(\sin t+\cos t)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }x(t)y^{\mathrm{\prime }}(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }(e^t\cos t+e^{\pi })e^t(\sin t+\cos t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{e}^{2t}(\sin t\cos t+{\cos }^{2}t)dt+e^{\pi }{\int }_0^{\pi }{y}^{\mathrm{\prime }}(t)dt\mathrm{.}}\end{array}$$この第2項は$$e^{\pi }{\int }_0^{\pi }{y}^{\mathrm{\prime }}(t)dt=e^{\pi }[y(t){]}_0^{\pi }=0$$である。また$$\sin t\cos t+{\cos }^{2}t={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2t+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\cos 2t)$$だから$$\begin{array}{cccc}& S={\displaystyle \frac{1}{2}}\{{\int }_0^{\pi }{e}^{2t}dt+{\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\cos 2tdt+{\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\sin 2tdt\}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$各積分をまとめて計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{2t}dt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{2}},}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\cos 2tdt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}},}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{2t}\sin 2tdt}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$後ろ2つは打ち消し合うので，(1) より$$S={\displaystyle \frac{e^{2\pi }-1}{4}}\mathrm{.}$$