大阪大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第2問

(1) $$\vec{u}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},\vec{v}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$$とおく。条件より $\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=1$ である。また $$\vec{u}+\vec{v}=3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$$ だから $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$$ である。与えられた内積条件は $$\vec{u}\cdot \frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}=\frac{1}{3}$$ と書ける。両辺を3倍して $$\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\vec{u}\cdot \vec{v}=1$$ である。$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=1$ より $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ を得る。したがって$$(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot (\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})=0$$である。

(2)
(1) より $\vec{u},\vec{v}$ は互いに垂直な単位ベクトルである。平面上の任意の点 $P$ について $$\overrightarrow{OP}=X\vec{u}+Y\vec{v}$$ と表すと、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2=X^2+Y^2$$ である。

さらに $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$$ なので、1つ目の条件は $${(X-\frac{1}{3})}^2+{(Y-\frac{1}{3})}^2\leqq \frac{1}{9}$$ となる。2つ目の条件は$$\overrightarrow{OP}\cdot \vec{u}=(X\vec{u}+Y\vec{v})\cdot \vec{u}=X\leqq \frac{1}{3}$$である。したがって $(X,Y)$ の動く範囲は、中心 $C=(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$、半径 $\frac{1}{3}$ の円板のうち、直線 $X=\frac{1}{3}$ の左側である。

最小値を考える。原点 $O^{\mathrm{\prime }}=(0,0)$ から中心 $C$ までの距離は$$O^{\mathrm{\prime }}C=\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$であり、これは半径 $\frac{1}{3}$ より大きい。したがって円板全体での最短距離は $$\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$$ である。この最短点は中心から原点方向に半径だけ進んだ点で、座標は $(\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}})$ であるから、確かに $X<\frac{1}{3}$ をみたす。よってこの値が条件下での最小値である。

次に最大値を考える。領域の境界は、円周の左半分と線分 $X=\frac{1}{3}$ からなる。線分上では $$X=\frac{1}{3},0\leqq Y\leqq \frac{2}{3}$$ だから、$X^2+Y^2$ の最大は $Y=\frac{2}{3}$ のときで、値は $${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{5}{9}$$ である。

円周の左半分では$$X=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cos \varphi ,Y=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sin \varphi ,\cos \varphi \leqq 0$$とおける。このとき $$X^2+Y^2=\frac{3+2(\cos \varphi +\sin \varphi )}{9}$$ である。$\cos \varphi \leqq 0$ のもとでは、$\sin \varphi \leqq 0$ なら $\cos \varphi +\sin \varphi \leqq 0$、$\sin \varphi >0$ なら $$\cos \varphi +\sin \varphi \leqq \sin \varphi \leqq 1$$ である。したがって $\cos \varphi +\sin \varphi \leqq 1$ であり、等号は $$(\cos \varphi ,\sin \varphi )=(0,1)$$ のとき成り立つ。よって円周上でも最大の $X^2+Y^2$ は $\frac{5}{9}$ である。

以上から$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}_{\min }=\frac{\sqrt{2}-1}{3},\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}_{\max }=\frac{\sqrt{5}}{3}$$である。

$\vec{u}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，$\vec{v}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$ が単位直交ベクトルであることを使い，$\overrightarrow{OP}=X\vec{u}+Y\vec{v}$ とおく。最小値は三角不等式で評価し，最大値は円板条件を展開して $X+Y\leqq 1$ と合わせることで，境界を媒介変数表示せず直接上から押さえる。

(1) $$\vec{u}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},\vec{v}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$$とおく。$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=1$ であり，$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(\vec{u}+\vec{v})\mathrm{/}3$$ だから，与えられた内積条件は$$\vec{u}\cdot \frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}=\frac{1}{3}$$となる。よって $$\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\vec{u}\cdot \vec{v}=1$$ であり，$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ を得る。したがって求める内積は $0$ である。

(2) $$\overrightarrow{OP}=X\vec{u}+Y\vec{v}$$ とおくと，条件は$${(X-\frac{1}{3})}^2+{(Y-\frac{1}{3})}^2\leqq \frac{1}{9},X\leqq \frac{1}{3}$$となる。領域は次図の青い半円板である。

中心を表すベクトルを $$\vec{c}=(\vec{u}+\vec{v})\mathrm{/}3$$ とすれば $\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}\mathrm{/}3$ である。円板条件と三角不等式から$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}-\vec{c}\mathrm{\mid }\geqq \frac{\sqrt{2}-1}{3}\mathrm{.}$$等号を与える点は$$(X,Y)=(\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}})$$で，$X<1\mathrm{/}3$ を満たす。したがって最小値は $(\sqrt{2}-1)\mathrm{/}3$ である。

次に円板条件を展開すると$$\begin{array}{cccc}& X^2+Y^2\leqq \frac{2}{3}(X+Y)-\frac{1}{9}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$また円板全体で $Y\leqq 2\mathrm{/}3$ であり，半平面条件から $X\leqq 1\mathrm{/}3$ だから $X+Y\leqq 1$ である。(1) より$$X^2+Y^2\leqq \frac{2}{3}-\frac{1}{9}=\frac{5}{9}\mathrm{.}$$等号は $(X,Y)=(1\mathrm{/}3,2\mathrm{/}3)$ で成り立つ。よって最大値は $\sqrt{5}\mathrm{/}3$ である。