阪大 2025年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

直線 $O B$ を $x$ 軸に取り， $O = (0, 0)$ ， $B = (t, 0)$ とおく。 $∠ A O B$ が鋭角で， $A$ から $O B$ への射影の長さが $O C = 1$ なので， $A$ の $x$ 座標は $1$ ， $O A = 3$ から高さは $2 \sqrt{2}$ と決まる。(2)では $P$ を内分点公式で出し， $R = (r, 0)$ とおいて $A R ⊥ O P$ を内積 $0$ で表す。(3)は $R$ が線分 $M B$ 上にあることを $t / 2 ≦ r ≦ t$ に翻訳し，分母 $2 t + 1 > 0$ を確認して2つの二次不等式を解く。

解答

座標配置の一例として $t = 3$ の場合を描くと次のようになる。青線が $O P$ 、赤線が $A R$ であり、両者は直交する。

(1)
直線 $O B$ を $x$ 軸に取り， $O = (0, 0)$ ， $B = (t, 0)$ とおく。 $O B = t$ は長さなので $t > 0$ である。

点 $A$ から直線 $O B$ に下ろした垂線の足が $C$ で， $O C = 1$ である。また $∠ A O B$ は鋭角なので， $C$ は $O$ から $B$ へ向かう向きにある。したがって， $A$ の $x$ 座標は $1$ としてよい。 $O A = 3$ より， $A$ の $y$ 座標の絶対値は $\sqrt{3^{2} - 1^{2}} = 2 \sqrt{2}$ である。上下どちらにあっても内積や長さの答えは同じなので， $A = (1, 2 \sqrt{2})$ として計算する。

このとき $\vec{O A} = (1, 2 \sqrt{2}), \vec{O B} = (t, 0)$ であるから， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = t$ である。

(2)
点 $P$ は線分 $A B$ を $2 : 1$ に内分するので， $A P : P B = 2 : 1$ である。よって $P = \frac{A + 2 B}{3} = (\frac{1 + 2 t}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ である。

$R$ は直線 $O B$ 上にあるから， $R = (r, 0)$ とおく。直線 $A R$ は直線 $O P$ に垂直なので， $\vec{A R} \cdot \vec{O P} = 0$ である。ここで $\vec{A R} = (r - 1, - 2 \sqrt{2}), \vec{O P} = (\frac{1 + 2 t}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ だから， $(r - 1) \frac{1 + 2 t}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 0$ すなわち $(r - 1) (1 + 2 t) - 8 = 0$ である。したがって $r = 1 + \frac{8}{1 + 2 t} = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$ である。 $t > 0$ より $r > 0$ なので，求める長さは $O R = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$ である。

(3)
$M$ は $O B$ の中点なので，座標は $M = (t / 2, 0)$ である。 $R$ が線分 $M B$ 上にあるための条件は $\frac{t}{2} ≦ r ≦ t$ である。(2)の結果を代入すると $\frac{t}{2} ≦ \frac{2 t + 9}{2 t + 1} ≦ t$ である。ここで $2 t + 1 > 0$ であるから，分母を払ってよい。

右側の不等式から $\frac{2 t + 9}{2 t + 1} ≦ t$ すなわち $2 t + 9 ≦ 2 t^{2} + t$ を得る。よって $2 t^{2} - t - 9 ≧ 0$ であり， $t > 0$ を考えると $t ≧ \frac{1 + \sqrt{73}}{4}$ である。

左側の不等式から $\frac{t}{2} ≦ \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$ すなわち $t (2 t + 1) ≦ 2 (2 t + 9)$ を得る。よって $2 t^{2} - 3 t - 18 ≦ 0$ であり， $t > 0$ を考えると $t ≦ \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{4}$ である。

以上を合わせて，求める範囲は $\frac{1 + \sqrt{73}}{4} ≦ t ≦ \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{4}$ である。

総評

文系・理系の公式出題意図はいずれも、平面ベクトルの内積などの基本理解、条件を正確に表現する力、着実な計算力を問うとしている。座標化すれば素直に進むベクトル・図形問題。目安時間は18分前後。 $O C = 1$ は $A$ の射影の長さを決める条件であり， $O A = 3$ と合わせて $A = (1, 2 \sqrt{2})$ と置けることが出発点である。採点上は，内分点 $P$ の座標， $A R ⊥ O P$ の内積条件， $R$ が線分 $M B$ 上にあることを $t / 2 ≦ r ≦ t$ とする翻訳が得点源になる。 $2 t + 1 > 0$ を確認してから不等式の分母を払うと，符号ミスを避けやすい。
2つの境界値を再計算し、区間内の複数の $t$ で $t / 2 ≦ O R ≦ t$ を独立検算した。

出典: 大阪大学 2025年度一般選抜数学（共通）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

総評

大阪大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問