大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

直線 $l,m$ を $l:A+s\vec{u},m:B+t\vec{v}$ と表す。ただし $\vec{u},\vec{v}$ はそれぞれの方向ベクトルである。$l$ と $m$ はねじれの位置にあるから，$\vec{u}$ と $\vec{v}$ は平行でない。 $l$ 上の点 $A+s\vec{u}$ と $m$ 上の点 $B+t\vec{v}$ を結ぶベクトルを $$\vec{w}=(B+t\vec{v})-(A+s\vec{u})=B-A+t\vec{v}-s\vec{u}$$ とおく。この線分が両直線に直交する条件は $$\vec{w}\cdot \vec{u}=0,\vec{w}\cdot \vec{v}=0$$ である。 $\vec{d}=B-A$ とおくと，この2条件は $$\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^{2}s-(\vec{u}\cdot \vec{v})t=\vec{d}\cdot \vec{u}$$ $$(\vec{u}\cdot \vec{v})s-\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^{2}t=\vec{d}\cdot \vec{v}$$ という $s,t$ の連立一次方程式である。この係数の行列式は符号を除いて $\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2-(\vec{u}\cdot \vec{v}{)}^2$ である。もしこれが $0$ なら，二つの方向ベクトルは平行になる。実際，内積の基本不等式で等号が成立する場合にあたり，$\vec{u},\vec{v}$ は同じ向きまたは反対向きのベクトルになる。これはねじれの位置に反する。

したがって係数の行列式は $0$ でなく，$s,t$ はただ1組に定まる。この組に対応する2点を結ぶ直線は，作り方から $l$ と $m$ の両方に直交する。

また，両方に直交する任意の直線は，$l$ 上の点と $m$ 上の点を結び，その2点の媒介変数が上の連立方程式を満たす。解 $s,t$ が一意であるから，そのような直線もただ1つである。

2次元投影の模式図。紙面上の交差ではなく，内積条件が直交性を表す。